Интегральные суммы. Определенный интеграл. Связь неопределенного интеграла с определенным. Формула Ньютона-Лейбница.

Множество T = { x_i } точек отрезка [ a, b ], таких, что a = x₀ < x₁ < x₂ < …… < x_T–1 < x_T= b называется разбиением отрезка [ a, b ].

Обозначим D x_k длину отрезка [ x_k-1 , x_k ]. Тогда максимальное значение D x_k называется мелкостью разбиения T.

Если множество Т* включает в себя множество Т, то говорят, что разбиение Т* следует за разбиением Т; или что разбиение Т* вписано в разбиение Т.

Для двух разбиений Т и Т* всегда найдется разбиение, вписанное и в Т, и в Т*.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если функция f (x) задана всюду на отрезке [ a, b ] и задано разбиение Т, то всякая сумма:

называется интегральной суммой Римана функции f.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция f (x) называется интегрируемой по Риману на отрезке [ a, b ], если для любой последовательности разбиений Т_n отрезка [ a, b ], мелкость которых стремится к нулю; и для любого набора точек x _k последовательность интегральных сумм s _{Т n} имеет один и тот же предел.

Предел последовательности интегральных сумм называют (определенным) интегралом Римана функции f на отрезке [ a, b ] и обозначается .

В интеграле число a называется нижним пределом интегрирования, а b – верхним.

Одним из основных результатов математического анализа является теорема Ньютона – Лейбница:

Пусть функция f (x) непрерывна на [ a; b ], а F (x) – какая-либо первообразная функции f на этом отрезке. Тогда

Таким образом, для вычисления определенного интеграла нужно найти какую-либо первообразную F функции f, вычислить ее значения в точках a и b и найти разность F (b) – F (a).

Пусть f (x) непрерывна на [ a; b ], g (t) имеет непрерывную производную на [α; β], Тогда если a = g (α), b = g (β), то справедлива формула замены переменной в определенном интеграле:

Если функции u (x) и v (x) имеют на [ a; b ] непрерывные производные, то справедлива формула интегрирования по частям: