Геометрический смысл производной

Рассмотрим график функции y = f (x) в окрестности фиксированной точки x ₀ (рис.5).

Рис. 5

Точка M₀(x ₀; y (x ₀)) – фиксированная точка графика y = f (x). Точка M(x ₀+D x; y (x ₀+D x)) при различных значениях D x – любая точка на графике. Если точка M приближается к точке M₀ (при этом D x ®0), то секущая линия M₀M стремится к своему предельному положению, называемому касательной к линии y = f(x) в точке M₀.

Рассмотрим D M₀M A: t g a_сек= , a_сек = угол наклона секущей M₀M к оси Ox.

Перейдем к пределу при D x ®0:

То есть y ' (x ₀) = t g a_кас => частное значение производной функции y = f (x) в точке x ₀ равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к линии y = f (x) в точке M₀(x ₀; y (x ₀)).

Тогда, используя уравнение прямой, проходящей через заданную точку M₀(x ₀; y ₀) с известным угловым коэффициентом K_кас = y '(x ₀), можно записать уравнение касательной к линии y = f (x) в точке M₀(x ₀; f (x ₀)):

y = f (x ₀) + f ' '(x ₀) ×;(x - x ₀)

Аналогично, можно записать уравнение нормали – прямой, перпендикулярной касательной и проходящей через точку касания M₀(x ₀; f (x ₀)):

y = f (x ₀) - ,

используя условие перпендикулярности прямых: K_норм = - .

Таблица производных основных элементарных функций

1)

Вывод: ;

 

2) ;

Вывод: ;

 

3)

Вывод: ;

(используется второй замечательный предел и свойства логарифма).

 

4)

Вывод: так как ln x = lo g _e x, то, используя производную, для (lo g_a x), можно записать:

5) (c)' = 0

Вывод: y = c, D y = y (x +D x) - y (x) = c-c = 0

Для остальных функций производные выводятся позже с помощью правил дифференцирования.

Таблица производных основных элементарных функций

1. (c)' =0

2. (x ^a) = a× x ^a-1

3. (a^x)' = a^x ×ln a, (a >0, a # 1)

4. (e^x)' = e^x

5. (lo g_ax)' = , (a >0; a # 1)

6. (ln x)' =

7. (sin x)' =cos x

8. (cos x)' = - sin x

9. (t gx)' =

10. (ct gx)' = -

11. (a rcsin x)' =

12. (a rccos x)' = -

13. (a rct gx)' =

14. (a rcct gx)' = -