Энергетический критерий Гриффитса

[1] Понятие трещиностойкости стоит в одном ряду с такими понятиями механики материалов,как пластичность, прочность, ползучесть и т.п. Эти понятия отражают явления, происходящие с материалом, и реакцию материала на внешнее воздействие. Мера количественной оценки этой реакции может быть измерена разными величинами. Например, для тела с трещиной характеристики трещиностойкости можно оценивать критическим коэффициентом интенсивности напряжений, пределом трещиностойкости, критическим раскрытием вершины трещины, удельной работой разрушения, критическим значением "джей"-интеграла, процентом волокна в изломе, критической температурой хрупкости, ударной вязкостью образца с трещиной и др.

Энергетический критерий Гриффитса

 

Обратимся теперь к энергетическому критерию разрушения, предложенному Аланом Гриффитсом. Появившиеся в 1921 и 1924 годах работы Гриффитса по теории трещин считаются основополагающими, которые открыли путь для теоретических исследований в области механического разрушения[1]. Кратко ее содержание сводится к тому, что при продвижении трещины на единицу площади (при этом образуются две ее поверхности) выделяющаяся энергия упругой деформации G расходуется на образование этой единицы площади. Тогда критерий разрушения принимает вид

(3.7.1)

Здесь символом обозначена удельная (т.е. на единицу площади) работа разрушения или, иначе, вязкость разрушения. Знак равенства в (3.7.1) означает наступление критического (разрушающего) состояния.

Гриффитсом была решена следующая задача. Дана неограниченная плоскость (развертка цилиндрической поверхности трубы), ослабленная одиночной прямолинейной трещиной (в виде предельно тонкой эллиптической полости) , . Плоскость растягивается равномерным на бесконечности напряжением в направлении оси (перпендикулярно линии трещины, см. рис. 3.4).

Предполагается, что растяжение в направлении линии трещины (вдоль оси ) не оказывает влияния на условия распространения трещины[2]. Требуется установить, при каком значении внешнего напряжения трещина данной длины станет неустойчивой, т.е. начнет быстро распространяться при постоянной внешней нагрузке.

В результате наличия трещины, потенциальная энергия W пластинки (единичной толщины и на единицу площади трещины) уменьшается на величину

G =

Здесь - коэффициент интенсивности напряжений.

Компоненты перемещения точки на поверхности разреза (при ) случае плоского напряженного состояния будут

, (3.7.2)

Отсюда видно, что поверхность разреза в результате деформации (пренебрегая компонентой u) принимает форму эллипса ,

Для плоского напряженного состояния (перемещение в середине трещины).

Поставив полученные величины в критерий разрушения (3.7.1) находим критическое (разрушающее) напряжение (формула Гриффитса)

(3.7.3)

Последнее равенство написано на основании эквивалентности энергетического и силового критериев (см. раздел 3.8). Уравнение (3.7.3) показывает, что критическая диаграмма разрушения (связь разрушающего напряжения с длиной трещины) имеет вид гиперболы – чем длиннее трещина, тем меньше разрушающее напряжение (рис. 3.22, линия 1). Критическое состояние равновесия в данной задаче неустойчиво, что видно из того, что и трещина, выйдя из критического состояния, неудержимо растет с положительным ускорением, стремясь к максимально возможной скорости в данной упругой среде. По Н.Ф. Мотту (1948) скорость роста трещины в закритическом (l > l _C) состоянии равна .

Стремление длины трещины к нулю приводит к бесконечной прочности тела, что физически нереально. Это естественно, если вспомнить постановку задачи – тело теряет прочность только из-за наличия трещины. Поэтому эта теория ограничена со стороны малых длин трещин и, соответственно, со стороны больших напряжений. Ориентировочно пригодность критерия определяется неравенством .

 

 

Рис. 3.22. Критическая диаграмма разрушения в задаче Гриффитса

 

 

Этой теорией не учитывается медленный докритический рост трещины, который наблюдается экспериментально. В действительности быстрый рост трещины (линии 4 на рис. 3.22) наступает не внезапно (линия 2), а после предварительного медленного устойчивого роста (линия 3). Докритический рост трещины (на величину ) может быть объяснен, если принять во внимание наличие пластической зоны перед концом трещины. При этом в удельную работу разрушения включается работа пластических деформаций вокруг вершины трещины и тогда суммарная удельная работа разрушения оказывается функцией длины трещины, что и предопределяет возникновение докритической стадии роста трещины. Для описания докритического роста трещины введено понятие R - кривых (см. раздел 4.6).

В последствии Гриффитсом было отмечено, что представляет интерес не только величина критического напряжения, но также и максимальное напряжение у вершины трещины (1924). Это напряжение можно оценить, если известен радиус закругления в конце трещины. Тогда, максимальное напряжение определяется выражением

 

,

 

где коэффициент концентрации напряжения (взятый из упомянутого решения Инглиса), r - радиус закругления в вершинах эллиптической трещины. Оценим поверхностную энергию тела. Положим напряженное состояние у вершины трещины одноосным с напряжением равным теоретической прочности . Энергия деформации в единице объема . Пусть решетка простая кубическая, тогда энергия, запасенная в ячейке и отнесенная к единице площади, даст удельную поверхностную энергию . Здесь а – параметр решетки. Положив, что максимальное напряжение у вершины трещины равно теоретической прочности получаем формулу Гриффитса с точностью до постоянного числового множителя . Здесь принято, что радиус кривизны в вершине трещины пропорционален параметру решетки . Полученные соотношения показывают, что одновременно с необходимым условием разрушения – энергетическим, удовлетворяется также и достаточное - силовое .