Линейное векторное пространство

Упорядоченная система из n чисел a = () называется n - мерным вектором, а числа называются компонентами вектора a.

Векторы a = () и b = () будут считаться равными, если .

Суммой векторов a и b называется вектор a + b = ().

Вектор 0 = ( 0,0,…,0) называется нулевым.

Вектором, противоположным вектору a, назовем вектор -a =().

Произведением вектора a на число k называется вектор ka = ().

Вектор b называется линейной комбинацией векторов a₁, a₂, …, a_s, если существуют такие числа р₁, р₂, …, р_s, что b = р₁a₁+ р₂a₂ + … + р_sa_s.

Система векторов a₁ , a₂, …, a_s линейно зависима, если существуют такие числа р₁, р₂, …, р_s, хотя бы одно из которых отлично от нуля, когда имеет место равенство р₁a₁+ р₂a₂ + … + р_sa_s = 0,в противном случаи система линейно зависима.

Система из n векторов образует базис линейного n - мерного пространства, если они линейно независимые и любой другой вектор линейного пространства является их линейной комбинацией.

Система векторов e₁=(1, 0, …, 0), e₂=(0, 1, …, 0), …, e_n=(0, 0, …, 1), которые называются единичными, образует базис n - мерного векторного пространства.

Доказать, что система векторов образует базис в R³, и найти координаты вектора в этом базисе.

Рассмотрим равенство . Оно эквивалентно следующей линейной однородной системе:

, т.к. определитель системы ,

то система имеет только нулевое решение и, следовательно, векторы

- линейно независимые.

Теперь покажем, что любой вектор из R³ можно представить в виде их линейной комбинации, т.е. , и тем самым докажем, что векторы образуют базис в R³, а есть координаты вектора в новом базисе.

Действительно записанное ранее векторное равенство эквивалентно следующей линейной системе:

. Так как определитель системы , то, по правилу Крамера, система имеет решение при любой правой части, а это означает, что любой вектор из R³ можно выразить через векторы , т.е эти векторы образуют базис.

Теперь найдем координаты вектора в этом базисе, для чего запишем систему: . Решая ее, получим

Следовательно, в новом базисе вектор имеет координаты .

Пусть дана матрица А = .

Строки матрицы можно рассматривать как n - мерные векторы, которые могут быть линейно зависимые.

Максимальное число линейно независимых строк матрицы А называется рангом этой матрицы.

Пусть дана система линейных уравнений

и ее матрица А = .

Построим так называемую “расширенную” матрицу,

= .

Система линейных уравнений тогда и только тогда совместна, когда ранг расширенной матрицы равен рангу матрицы А.

Совместная система тогда и только тогда обладает единственным решением, когда ранг матрицы А равен числу неизвестных.