Точность. Рассмотренные методы можно получить из разложения функции в ряд Тейлора для явного метода Эйлера в точке

 

Рассмотренные методы можно получить из разложения функции в ряд Тейлора для явного метода Эйлера в точке , а для неявного метода Эйлера в точке , что позволяет оценить их точность.

а) Так, разложив функцию в точке , получим:

,

или в дискретной форме с учетом того, что , а ,

,

что соответствует формуле (6.4).

При нахождении решения в точке , отстоящей от точки , на расстоянии , погрешность, в чем легко убедиться, суммируется. Суммарная погрешность, очевидно, равна , а с учетом того, что , будет

, (6.12)

т.е. явный метод Эйлера имеет первый порядок точности.

b) Аналогично для неявного метода Эйлера:

или

, (6.13)

или , что соответствует формуле (6.4),

а суммарная ошибка

, (6.14)

т.е. неявный метод Эйлера также имеет I порядок точности.

c) Для метода трапеции запишем разложение в виде

. (6.15)

Представим как .

Подставим это выражение в предыдущее, получим

,

что соответствует формуле (6.5).

Суммарная ошибка

, (6.16)

т.е. метод трапеции имеет II порядок точности.

Рассмотренные методы носят скорее методологический характер, чем практический. На практике из явных методов получили наибольшее распространение методы Рунге-Кутта, как правило, 4-го порядка.

Запишем формулы этого метода:

(6.17)

Таким образом, метод Рунге-Кутта 4-го порядка требует на каждом шаге четырехкратного вычисления правой части уравнения .

Метод Рунге-Кутта 4-го порядка согласуется с разложением в ряд Тейлора вплоть до члена с , т.е. это метод 4-го порядка точности с суммарной ошибкой . Так как метод Рунге-Кутта обладает высокой точностью, то это позволяет увеличить шаг интегрирования, уменьшить соответственно и время решения. Однако имеется ограничение на максимальный шаг, исходя из устойчивости метода, как и у любого явного метода.

Методы Эйлера (6.3) и трапеции (6.5) могут также рассматриваться как методы Рунге-Кутта I и II порядков.

Часто точность вычисления контролируется с помощью правила Рунге:

(6.18)

где - значение функции, полученное в точке при переходе из точки с шагом и ; р – порядок метода.