Методы безусловной оптимизации
Пусть задана целевая функция F(Х)®min без ограничений, где Х={x1,…,xn}. Если F(x) задана аналитически, то условие экстремума
Как известно, условие минимума: Далее будем рассматривать численные методы решения, которые удобны для реализации на ЭВМ. На сегодняшний день большинство таких методов относятся к методам возможных направлений (рис.1.5).
По любому из этих возможных направлений осуществляется переход в следующую точку: Получаем общее уравнение: где k – номер итерации (шага). Величина шага t определяет сходимость процесса: · если t®0, то сходимость медленная, но надежная; · если t – большой, то сходимость быстрая, но процесс может расходиться. Наилучшая сходимость обеспечивается выбором tОПТ по критерию F(Х)®min на выбранном направлении
Чаще f(t) аппроксимируют кривой второго порядка:
Для определения параметров a,b и c считают f в трех точках: - при t = 0, когда x = x0 (F(x0) = F0); - при t = 1, - при t = 2, После этого составляют систему уравнений,
из решения которой находят a,b и c. Из условия минимума функции
определяют оптимальный шаг
Методы, в которых определяется tОПТ, называются методами скорейшего поиска. Эти методы широко используются при решении задач. В зависимости от выбора возможных направлений различают несколько методов.
|
где i= 1,…,n.
Расчет начинается с исходного приближения x0. В точке x0 рассматривается несколько направлений 
. Направления, ведущие к снижению F (здесь 1 и 3) называют возможными направлениями (ВН).
, где t – шаг.
,
. Оптимальный шаг можно выбрать, если F(x) представить по возможности как
и по условию минимума
найти оптимальный шаг 
.
(F(x1) = F1);
(F(x2) = F2).
,
