Закон Гаусса

 

Закон Гаусса устанавливает связь между электрическим зарядом и напряженностью электрического поля , которое он порождает.

Пусть внутри некоторого объема V, имеющего поверхность S, заключен суммарный электрический заряд q_S (рис. 1.3).

 

Рис. 1.3. Заряд, заключенный внутри объема V

 

Предварительно введем понятие потока вектора напряженности электрического поля в виде скалярного произведения двух векторов

. (1.26)

Для пояснения содержания понятия потока вектора напряженности электрического поля представим две параллельные плоскости, одна из которых заряжена положительно, т.е. имеет поверхностную плотность заряда +s, вторая, соответственно, отрицательно – s (рис. 1.4).

 

Рис. 1.4. Две параллельные заряженные плоскости

 

Пусть в пространстве между плоскостями расположена элементарная площадка , которая может принимать любую ориентацию. Очевидно, если вектор нормали, проведенный к площадке, сонаправлен (параллелен) вектору (), то площадку пересекает максимальное число линий напряженности электрического поля.

Если изменить ориентацию площадки таким образом, что , т.е. угол между нормалью и направлением вектора соответствует 90°, то при таком расположении силовые линии электрического поля не пересекают поверхности рассматриваемой площадки. В этом случае поток вектора напряженности электрического поля равен:

, (1.27)

т.е. поток вектора равен нулю, силовые линии не пересекают поверхность.

Рис. 1.4 отражает случай максимального значения потока вектора напряженности электрического поля, т.к. векторы и являются сонаправленными.

Можно заключить, что понятие потока вектора показывает количество линий, пересекающих рассматриваемую поверхность.

Закон Гаусса математически записывают в виде

, (1.28)

где – напряженность поля, – направленная площадка, – суммарный заряд, заключенный внутри поверхности S, – диэлектрическая постоянная.

Скалярное произведение представляет собой поток вектора напряженности электрического поля, проходящий через площадку . Интеграл означает, что рассматриваем полный поток вектора через всю замкнутую поверхность.

Закон Гаусса можно записать с помощью вектора индукции электрического поля. Для этого уравнение (1.28) нужно несколько видоизменить, освободившись от знаменателя, т.е.

, (1.29)

но так как

, (1.30)

можно записать

. (1.31)

 

Закон, записанный с помощью интеграла вдоль замкнутой поверхности, называется законом Гаусса в интегральной форме. Такая форма указывает на выполнение закона в целом, независимо от свойств среды.

Заряды, как вы знаете, бывают положительные и отрицательные. Кроме того, нормаль к поверхности проводится внешняя (рис. 1.5). Для расчета потока вектора угол между вектором и нормалью в скалярном произведении отсчитывается от нормали к направлению вектора напряженности. Если суммарный заряд является положительным, то угол между внешней нормалью и напряженностью электрического поля будет меньше 90°, > 0, значит > 0 (рис. 1.5а).

 

а) б) в)

Рис. 1.5. Примеры определения потока вектора напряженности электрического поля

 

Если заряд отрицательный, то угол <0. В случае, если суммарный заряд, заключенный в рассматриваемом объеме, равен нулю, то и поток вектора сквозь замкнутую поверхность равен нулю (рис. 1.5в). В этом случае число силовых линий , входящих в объем V, равно числу силовых линий , выходящих из этого объема.

Часто необходимо знать проявление закона в конкретных точках рассматриваемого пространства. Для этого заменим интеграл по поверхности через интеграл по объему на основе известного соотношения векторного анализа:

 

.. (1.32)

 

 

Таким образом, левую часть формулы (1.28) преобразовали, заменив интеграл по поверхности на интеграл по объему. Правую часть можно записать с помощью объемной плотности заряда r_е. Суммарный заряд в формуле (1.31) выразим через объемную плотность заряда, т.е.

. (1.33)

Тогда от интегральной формы записи закона перейдем к дифференциальной форме

. (1.34)

 

Так как мы рассматриваем произвольный объем, то последнее равенство выполняется, если подынтегральные выражения равны между собой. Тогда можно записать

. (1.35)

 

Формулу (1.35) можно также записать в виде

 

, (1.36)

т.е. пришли к формуле:

. (1.37)

 

Формулы (1.35) и (1.37) называют законом Гаусса в дифференциальной форме.

Физически эти соотношения означают, что источниками электрического поля являются только электрические заряды. Иными словами, электрическое поле порождается электрическими зарядами.

Подчеркнем, что нормаль к элементу , выделенному по поверхности объема, проводится внешняя (рис. 1.6).

Рис. 1.6. Расположение внешней нормали к произвольной поверхности

 

Заряд в объеме может быть расположен произвольным образом. Кроме того, заряд внутри объема может изменяться с течением времени по произвольному закону.

Как известно, оператор дивергенции определяется как .

Дивергенция является пределом отношения потока вектора через замкнутую поверхность S к величине объема V, ограниченной этой поверхностью. Дивергенция отлична от нуля, если силовые линии поля начинаются или заканчиваются в данной точке. Закон Гаусса указывает, что силовые линии поля могут начинаться или заканчиваться только в точках пространства, где существуют заряды. Если во всех точках рассматриваемой области заряд отсутствует, т.е. q = 0, то силовые линии поля пронизывают эту область насквозь либо являются замкнутыми.

Таким образом, положительный заряд, расположенный в точке пространства, является «истоком» векторного электрического поля.

Если заряд отрицательный, т.е. q<;0, то . Такая точка пространства является «стоком» векторного электрического поля. На рис. 1.7 приведены соответствующие графические пояснения

Рис. 1.7. К определению понятия дивергенция

 

Закон Гаусса является фундаментальным, из него можно получить аналитическое выражение закона Кулона.