Решение.

	.

Подставим в уравнение найденные значения производных:

,

что и требовалось доказать.

 

 

Производная сложной функции

а) Если , где , то - сложная функция двух переменных х и у, тогда

 

; .

 

б) Если , где , то - сложная функция одной переменной х, тогда

 

- полная производная сложной функции одной независимой переменной х.

 

в) Если , где , то - сложная функция одной переменной х и

 

.

 

Задача 9. Дана функция , где т. е. – сложная функция двух переменных х и у, где u и v - промежуточные аргумен-

ты. Найти .

 

Решение. ;

 

.

 

Задача 10. Дана функция . Найти .

 

Решение. Очевидно, что u – сложная функция одной независимой перемен-

ной t, а x, y и z – промежуточные аргументы, т. е. существует - полная производная сложной функции одной переменной.

 

.

 

Задача 11. Найти , если , где .

 

Решение.

, если .

 

Сравните: , т.к. .

 

 

Производная функции, заданной неявно

а) Если , то у – функция одной переменной х, заданная неявно.

.

 

б) Если , то z – функция двух независимых переменных, заданная неявно.

; .

 

Задача 12. Дано: . Доказать, что .

 

Решение. Данное уравнение задает неявно функцию z, зависящую от переменных х и у. Запишем данное уравнение в виде .

. Очевидно, что

.

 

;

 

.

 

Очевидно: , что и требовалось доказать.

 

Приложения производных функции

 

Полный дифференциал функции двух переменных