Дифференцируемость сложной функции

Пусть функция дифференцируема по переменным х и у, а функции и - дифференцируемы по переменным u,v.

Тогда функция дифференцируема по u и v, причем

;

Доказательство.

Было введено ,

(это следует из дифференцируемости функции )

(по условию и - дифференцируемы).

Тогда

.

б.м.

Заметим, что

, где - ограничено (т.к. ) и . Поэтому первый квадрат под знаком корня ограничен. По той же причине ограничен и второй квадрат. Тогда , где - ограниченная величина. Поэтому , где при .

б.м.

Таким образом,

ч.т.д.

б.м.в.

Примеры:

1) , где

2) , где ;

; ;

; ;

; .

3) , . Найти

. (Если подставим в данную функцию, тогда ).

Самостоятельно написать формулы для нахождения частных производных

4) , где ,

5) , где ,

6) , где , ,

Дифференциал

Пусть дана дифференцируемая функция , тогда по определению дифференцируемости .

гл. часть

Опр. Дифференциалом функции 2^х переменных называется главная часть приращения функции, линейно зависящая от приращения аргументов

или .

х, у независимые переменные, тогда , .

Дифференциал сложной функции. Инвариантность формы дифференциала

I. Пусть , где х и у независимые переменные, тогда .

II. Пусть , где , . Найдем в этом случае дифференциал .

Отсюда следует, что форма дифференциала не изменилась.

Правила отыскания дифференциала

1) ;

2) ;

3) ;