Сопоставление характеристик поступательного и вращательного движения.

Таблица 2

Поступательное движение	Вращательное движение
Масса	m	Момент инерции	J
Скорость		Угловая скорость
Ускорение		Угловое ускорение
Сила	F	Момент силы	Mz илиM
Импульс	p =m v	Момент импульса	Lz=Jz w
Основное уравнение динамики	F =m a	Основное уравнение динамики	Mz=Jz e
Работа	dA=Fsds	Работа вращения	Mzd j
Кинетическая энергия	mv 2/2	Кинетическая энергия вращения	Jz w2 /2

РЕЗЮМЕ

Моментом інерції системи (тіла) відносно осі обертання називається фізична величина, рівна сумі добудків мас матеріальних точок системи на квадрати їх відстаней до вісі, що розглядається. У випадку безперервного розподілу мас ця сума зводиться до інтеграла.

Теорема Штейнера: момент інерції тіла відносно будь-якої осі обертання дорівнює моменту його інерції відносно паралельної осі, що проходить через центр мас тіла, складеному з добудком маси тіла на квадрат відстані між осями:

 

Контрольні питання

-Що таке момент інерції тіла?

-Яка роль моменту інерції в обертальному русі?

-Яка формула для кінетичної енергії тіла, що обертається навколо нерухомої осі, і як її вивести?

-Що називається моментом сили відносно нерухомої точки? відносно не-рухливій осі? Як визначається напрям моменту сили?

-Виведіть і сформулюйте рівняння динаміки обертального руху твердого тіла.

-Що таке момент імпульсу матеріальної точки? твердого тіла? Як визначається напрям моменту імпульсу?

-В чому полягає фізична суть закону збереження моменту імпульсу? У яких системах він виконується? Наведіть приклади.

-Якою властивістю симетрії простору обумовлюється справедливість закону збереження моменту імпульсу?

-Порівняйте основні рівняння динаміки поступального і обертального рухів, прокоментувавши їх аналогію.

 

КІНЕТИЧНА ЕНЕРГІЯ ТІЛА, ЩО ОБЕРТАЄТЬСЯ.

Зміст лекції. Теорема для повної кінетичної енергії тіла, що рухається поступово та обертальна. Перетворення Галілея. Механічний принцип відносності. Неінерціальні системи відліку.

Рассмотрим абсолютно твердое тело, вращающееся около неподвижной оси z, проходящей через него. Мысленно разобьем это тело на маленькие объемы с элементарными массами т ₁, т ₂,..., т_п, находящиеся на расстоянии r ₁, r ₂,.... r_п от оси вращения. При вращении твердого тела относительно неподвижной оси отдельные его элементарные объемы массами m_i опишут окружности различных радиусов r_i и имеют различные линейные скорости v_i. Но так как мы рассматриваем абсолютно твердое тело, то угловая скорость вращения этих объемов одинакова:

.

Кинетическую энергию вращающегося тела найдем как сумму кинетических энергий его элементарных объемов:

или

Используя эти выражения

где J_z – момент инерции тела относительно оси z. Таким образом, кинетическая энергия вращающегося тела

Из сравнения этой формулы с выражением для кинетической энергии тела, движущегося поступательно , следует, что момент инерции тела, участвующего во вращательном движении -есть мера инертности тела. Полученная формула справедлива для тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.

В случае плоского движения вращающегося тела, например цилиндра, скатывающегося с наклонной плоскости без скольжения, энергия движения складывается из энергии поступательного движения и энергии вращения:

где m - масса катящегося тела; v_C - скорость центра масс тела; J_C - момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс; w - угловая скорость тела.

Преобразования Галилея. Механический принцип относительности. Если системы отсчета движутся относительно друг друга равномерно и прямолинейно и в одной из них справедливы законы динамики Ньютона, то эти системы являются инерциальными. Установлено также, что во всех инерциальных системах отсчета законы классической динамики имеют одинаковую форму; в этом сутьмеханического принципа относительности (принципа относительности Галилея).

Для его доказательства рассмотрим две системы отсчета: инерциальную систему K (с координатами х, у, z), которую условно будем считать неподвижной, и систему К' (с координатами х', у', z'),движущуюся относительно К равномерно и прямолинейно со скоростью u (u =const). Отсчет времени начнем с момента, когда начала координат обеих систем совпадают. Пусть в произвольный момент времени t расположение этих систем друг относительно друга имеет вид, изображенный на рис.58. Скорость u направлена вдоль ОО', радиус-вектор, проведенный из О в О', r _o = u t.

Найдем связь между координатами произвольной точки А в обеих системах. Из рис.58 видно, что

г = г' - r _o= r ' + u t.

Это уравнение можно записать в проекциях на оси координат:

x=x'+и_x t,

Эти уравнения носят название преобразований координат Галилея.

В частном случае, когда система К' движется со скоростью v вдоль положительного направления оси х системы К,(в начальный момент времени оси координат совпадают), преобразования координат Галилея имеют вид

В классической механике предполагается, что ход времени не зависит от относительного движения систем отсчета, т. е. к приведенным преобразованиям можно до­бавить еще одно уравнение:

t=t '

Записанные соотношения справедливы лишь в случае классической механики (и << с), а при скоростях, сравнимых со скоростью света, преобразования Галилея заменяются более общими преобразованиями Лоренца.

Продифференцировав выражение по времени, получим уравнение

v=v’+u

которое представляет собой правило сложения скоростей в классической механике.

Ускорение в системе отсчета К

.

Таким образом, ускорение точки A в системах отсчета К и К', движущихся друг относительно друга равномерно и прямолинейно, одинаково:

а=а'.

Следовательно, если на точку А другие тела не действуют (а =0), то, и а '=0, т.е. система К' является инерциальной (точка движется относительно нее равномерно и прямолинейно или покоится).

Таким образом, из єтого соотношения вытекает доказательство механического принципа относительности: уравнения динамики при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой не изменяются, т. е. являются инвариантными по отношению к преобразованиям координат. Галилей обратил внимание, что никакими механическими опытами, проведенными в данной инерциальной системе отсчета, нельзя установить, покоится ли она или движется равномерно и прямолинейно. Например, сидя в каюте корабля, движущегося равномерно и прямолинейно, мы не можем определить, покоится корабль или движется, не выглянув в окно.

РЕЗЮМЕ

Інерційні системи відліку.Якщо системи відліку рухаються відносно один одного рівномірно та прямолінійно і в одній з них справедливі закони динаміки Ньютона, то ці системи відліку є інерційними.