Кривая второго порядка может быть задана уравнением

 

1. Гомыранова, О.Н. Межличностные конфликты во взаимоотношениях студентов вузов / О.Н. Гомыранова // Вестник АГТУ. – Астрахань: ГОУ ВПО «Астраханский государственный технический университет», 2006. - № 5 (34). – С. 301-305. – ISSN 1812-9498. Включен в перечень ведущих рецензированных научных журналов ВАК.

2. Зигерт В., Ланг Л. «Руководить без конфликтов», М.: Академический проект, 1990

3. Чумикова А. Н. «Управление конфликтами», М.: Экономика, 1995

4. Зайцев А.К. Социальный конфликт. – М., 2000.

5. Гришина Н.В. Психология конфликта. – М., 1996.

6. Прутченков А.С. Тренинг коммуникативных умений. - М., 1993

7. Фишер Р., Юри У. Путь к согласию или переговоры без поражения – М.: Наука, 1990 – 158 с.

8. Шипилов А.И. Социально-психические особенности конфликтов между начальниками и подчиненными в подразделении: Дис.…канд. псих. Наук. – М., 1993. – 224 с.

Размещено

 

Кривая второго порядка может быть задана уравнением

Ах² + 2Вху + Су² + 2Dx + 2Ey + F = 0.

 

Существует система координат (не обязательно декартова прямоугольная), в которой данное уравнение может быть представлено в одном из видов, приведенных ниже.

1) - уравнение эллипса.

2) - уравнение “мнимого” эллипса.

3) - уравнение гиперболы.

4) a²x² – c²y² = 0 – уравнение двух пересекающихся прямых.

5) y² = 2px – уравнение параболы.

6) y² – a² = 0 – уравнение двух параллельных прямых.

7) y² + a² = 0 – уравнение двух “мнимых” параллельных прямых.

8) y² = 0 – пара совпадающих прямых.

9) (x – a)² + (y – b)² = R² – уравнение окружности.

 

Окружность.

В окружности (x – a)² + (y – b)² = R² центр имеет координаты (a; b).

 

Пример. Найти координаты центра и радиус окружности, если ее уравнение задано в виде:

2x² + 2y² – 8x + 5y – 4 = 0.

 

Для нахождения координат центра и радиуса окружности данное уравнение необходимо привести к виду, указанному выше в п.9. Для этого выделим полные квадраты:

x² + y² – 4x + 2,5y – 2 = 0

x² – 4x + 4 –4 + y² + 2,5y + 25/16 – 25/16 – 2 = 0

(x – 2)² + (y + 5/4)² – 25/16 – 6 = 0

(x – 2)² + (y + 5/4)² = 121/16

 

Отсюда находим О(2; -5/4); R = 11/4.

Далее считаем, что все центры находятся в начале координат.

Эллипс.

Определение. Множество всех точек плоскости, для которых сумма расстояний до фиксированных точек и есть заданная постоянная величина, называется эллипсом.

Уравнение . является каноническим уравнением эллипса.

 

Определение. Фокусами называются такие две точки, сумма расстояний от которых до любой точки эллипса есть постоянная величина.

 

у

 

М

r₁

r₂

F₁ O F₂ х

 

F₁, F₂ – фокусы. F₁ = (c; 0); F₂(-c; 0) с – половина расстояния между фокусами;

a – большая полуось; b – малая полуось.

Теорема. Фокусное расстояние и полуоси эллипса связаны соотношением:

a² = b² + c².

 

Доказательство: В случае, если точка М находится на пересечении эллипса с вертикальной осью, r₁ + r₂ = 2 (по теореме Пифагора). В случае, если точка М находится на пересечении эллипса с горизонтальной осью, r₁ + r₂ = a – c + a + c. Т.к. по определению сумма r₁ + r₂ – постоянная величина, то, приравнивая, получаем:

 

a² = b² + c²

r₁ + r₂ = 2a.

 

Определение. Форма эллипса определяется характеристикой, которая является отношением фокусного расстояния к большей оси и называется эксцентриситетом.

е = с/a. Т.к. с < a, то е < 1.

 

Определение. Величина k = b/a называется коэффициентом сжатия эллипса, а величина 1 – k = (a – b)/a называется сжатием эллипса.

Коэффициент сжатия и эксцентриситет связаны соотношением: k² = 1 – e².

 

Если a = b (c = 0, e = 0, фокусы сливаются), то эллипс превращается в окружность.

Если для точки М(х₁, у₁) выполняется условие: , то она находится внутри эллипса, а если , то точка находится вне эллипса.

Теорема. Для произвольной точки М(х, у), принадлежащей эллипсу верны соотношения:

r₁ = a – ex, r₂ = a + ex.

 

Доказательство. Выше было показано, что r₁ + r₂ = 2a. Кроме того, из геометрических соображений можно записать:

После возведения в квадрат и приведения подобных слагаемых:

Аналогично доказывается, что r₂ = a + ex. Теорема доказана.

 

С эллипсом связаны две прямые, называемые директрисами. Их уравнения:

 

x = a/e; x = -a/e.

 

Теорема. Для того, чтобы точка лежала на эллипсе, необходимо и достаточно, чтобы отношение расстояния до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы равнялось эксцентриситету е.

Пример. Составить уравнение прямой, проходящей через левый фокус и нижнюю вершину эллипса, заданного уравнением:

 

1) Координаты нижней вершины: x = 0; y² = 16; y = -4.

2) Координаты левого фокуса: c² = a² – b² = 25 – 16 = 9; c = 3; F₂(-3; 0).

3) Уравнение прямой, проходящей через две точки:

 

Пример. Составить уравнение эллипса, если его фокусы F₁(0; 0), F₂(1; 1), большая ось равна 2.

 

Уравнение эллипса имеет вид: . Расстояние между фокусами:

2c = , таким образом, a² – b² = c² = ½

по условию 2а = 2, следовательно а = 1, b =

Итого: .

Гипербола.

 

Определение. Гиперболой называется множество точек плоскости, для которых модуль разности расстояний от двух данных точек, называемых фокусами есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами.

y

 

M(x, y)

b

r₁

r₂

x

 

F₁ a F₂

 

c

 

 

По определению ïr₁ – r₂ï= 2a. F₁, F₂ – фокусы гиперболы. F₁F₂ = 2c.

Выберем на гиперболе произвольную точку М(х, у). Тогда:

обозначим с² – а² = b² (геометрически эта величина – меньшая полуось)

 

Получили каноническое уравнение гиперболы.

Гипербола симметрична относительно середины отрезка, соединяющего фокусы и относительно осей координат.

Ось 2а называется действительной осью гиперболы.

Ось 2b называется мнимой осью гиперболы.

Гипербола имеет две асимптоты, уравнения которых

Определение. Отношение называется эксцентриситетом гиперболы, где с – половина расстояния между фокусами, а – действительная полуось.

С учетом того, что с² – а² = b²:

Если а = b, e = , то гипербола называется равнобочной (равносторонней).

 

Определение. Две прямые, перпендикулярные действительной оси гиперболы и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии a/e от него, называются директрисами гиперболы. Их уравнения: .

Теорема. Если r – расстояние от произвольной точки М гиперболы до какого- либо фокуса, d – расстояние от той же точки до соответствующей этому фокусу директрисы, то отношение r/d – величина постоянная, равная эксцентриситету.

Доказательство. Изобразим схематично гиперболу.

 

y

a/e d

 

M(x, y)

 

r₁

 

 

0 a F₁ x

 

OF₁ = c

Из очевидных геометрических соотношений можно записать:

a/e + d = x, следовательно d = x – a/e.

(x – c)² + y² = r²

Из канонического уравнения: , с учетом b² = c² – a²:

Тогда т.к. с/a = e, то r = ex – a. Итого: .

Для левой ветви гиперболы доказательство аналогично. Теорема доказана.

 

Пример. Найти уравнение гиперболы, вершины и фокусы которой находятся в соответствующих вершинах и фокусах эллипса .

Для эллипса: c² = a² – b².

Для гиперболы: c² = a² + b².

 

 

 

Уравнение гиперболы: .

Пример. Составить уравнение гиперболы, если ее эксцентриситет равен 2, а фокусы совпадают с фокусами эллипса с уравнением

Находим фокусное расстояние c² = 25 – 9 = 16.

Для гиперболы: c² = a² + b² = 16, e = c/a = 2; c = 2a; c² = 4a²; a² = 4;

b² = 16 – 4 = 12. Итого: - искомое уравнение гиперболы.

Парабола.

 

Определение. Параболой называется множество точек плоскости, каждая из которых находится на одинаковом расстоянии от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой директрисой и не проходящей через фокус.

 

Расположим начало координат посередине между фокусом и директрисой.

 

у

А М(х, у)

 

О F x

p/2 p/2

 

 

Величина р (расстояние от фокуса до директрисы) называется параметром параболы. Выведем каноническое уравнение параболы.

Из геометрических соотношений: AM = MF; AM = x + p/2; MF² = y² + (x – p/2)²

(x + p/2)² = y² + (x – p/2)² x² +xp + p²/4 = y² + x² – xp + p²/4

y² = 2px Уравнение директрисы: x = -p/2.

Пример. На параболе у² = 8х найти точку, расстояние которой от директрисы равно 4.

Из уравнения параболы получаем, что р = 4.

r = x + p/2 = 4; следовательно: x = 2; y² = 16; y = ±4. Искомые точки: M₁(2; 4), M₂(2; -4).

 

 

эксцентриситет

- a – большая полуось - a – большая полуось

a² = b² + c² с² – а² = b²

полуоси

по оси - по оси - нет

по оси - по оси - нет

асимптоты

нет и нет

Директрисы

x = a/e; x = -a/e x = -p/2

Ось, на которой лежат фокусы, называется фокальной, для гиперболы она так же называется действительной (большая полуось).

Вырожденные случаи:

1) - мнимый эллипс или мнимая кривая второго порядка

2) - точка с координатами

3) - пара пересекающихся прямых и в точке с координатами

4) пара параллельных прямых

5) пара совпадающих параллельных прямых