Частица в потенциальной яме

Рис. 2. Потенциальная функция в задаче о потенциальной яме

В качестве первого примера рассмотрим стационарное движение частицы в одномерной потенциальной яме шириной , ограниченной бесконечно высокими стенками. Потенциальную функцию для этого случая можно представить в виде (см. рис. 2)

Как видно из данной формулы потенциальная функция на всем отрезке движения частицы равна нулю. При этом стационарное уравнение Шредингера будет иметь вид

где . Характеристическое уравнение для данного дифференциального уравнения имеет два корня . Решение уравнения будет иметь вид . Неизвестные постоянные и найдем, используя граничные условия и , выражающие собой условия непроницаемости стенок потенциальной ямы для частицы. Первое из приведенных условий дает уравнение , откуда и

Используя формулу Эйлера, связывающую экспоненциальные и тригонометрические функции , преобразуем найденное решение к виду

Второе граничное условие дает уравнение , решение которого есть

где . Откуда и

Следовательно, энергия частицы, находящейся в потенциальной яме принимает не любые значения, а образует дискретный спектр разрешенных значений, определяемых формулой (15).

Учитывая, что энергия и импульс частицы связаны соотношением , можно рассчитать спектр значений импульса частицы

Общий вывод состоит в том, что при движении частицы в замкнутой области, наличии условий, ограничивающих ее движение, возникает эффект квантования характеристик движения частицы — энергии и импульса. Иными словами эти характеристики принимают не любые, а лишь разрешенные соответствующими соотношениями значения.

После подстановки в последнее выражение для волновой функции получим

Наконец, остается найти постоянную в последнем выражении. Для этого воспользуемся условием нормировки (10). Имеем

откуда . На рис. 3 построены распределения плотности вероятности и энергетические уровни частицы для и . Значению квантового числа соответствует низший уровень энергии частицы. Такое состояние квантового объекта, при котором его энергия имеет минимальное из возможных значений, называются основным состоянием. Из рис. 3 видно, что в основном состоянии график плотности вероятности имеет максимум в точке . Это означает, что наиболее вероятная точка появления частицы находится посредине потенциальной ямы. С увеличением квантового числа n количество максимумов плотности вероятности на отрезке возрастает, что в частности видно из представленных на рис. 3 кривых, построенных для .

Рис. 3. Зависимости плотности вероятности от координаты и схема энергетических уровней частицы, «запертой» в потенциальной яме

По найденной волновой функции φ можно вычислить средние значения операторов физических величин, используя стандартную формулу

.