Методы интегрирования

2.1. Замена переменной

Теорема 1. Пусть F(x) – первообразная функции f (x) на отрезке [ a; b ], а x =j(t) – непрерывная на отрезке [a; b] и дифференцируемая на интервале (a; b) функция, принимающая значения на отрезке [ a; b ]. Тогда функция F(j(t)) является первообразной функции f (j(t))j¢ (t) на отрезке [a; b].

Доказательство. По теореме о производной сложной функции (F(j(t)))¢ = F¢ (j(t))j¢ (t). Поскольку F¢ (х)= f (x), получаем (F(j(t)))¢ = f (j(t))j¢ (t), ч.т.д.

Другими словами, если ò f (x) dx =F(x)+C, то

ò f (j(х))j¢ (х) dx =F(j(х))+C.

Примеры. 1) = . Поскольку = е^х +C, получаем: = е^arctgх +C.

2) = = . Поскольку = arctg , получаем: =

arctg +C.·

Из теоремы 1 вытекает так называемая теорема о линейной замене.

Теорема 2. Пусть F(x) – первообразная функции f (x) и а ¹ 0. Тогда функция F(ax + b) является первообразной функции f (ax + b).

Примеры. 1) = lnï 5 x –3ï, так как = lnï x ï +C.

2) =lnï x – а ï +С.·

2.2. Интегрирование по частям

Теорема 3. Если функции u (x) и v (x) дифференцируемы на отрезке [ a; b ], то ò u (х) dv (х) = u (x) v (x)– ò v (х) du (х). Эта формула называется формулой интегрирования по частям.

Доказательство. По формуле дифференциала произведения получаем: d (uv)= vdu + udv, откуда ò d (uv)= ò vdu +ò udv,

то есть uv = ò vdu +ò udv, ò udv = uv –ò vdu, ч.т.д.

Примеры. 1)Рассмотрим ò x sin xdx. Пусть x = u, тогда sin xdx = dv, значит, v =–cos x, du = dx. По формуле интегрирования по частям получаем: ò x sin xdx = x (–cos x)– ò (–cos x) dx. Значит, ò x sin xdx = – x cos x + ò cos xdx = – x cos x +sin x +C.

2)Рассмотрим ò ln xdx. Пусть ln x = u, тогда dx = dv, значит, v = x, du = dx. По формуле интегрирования по частям: ò ln xdx =ln x ^. x –ò x dx. Значит, ò ln xdx = x ln x –ò dx = x ln x – x +C.·