Уравнения в безразмерном виде. Понятие о критериях подобия

Теория подобия является одним из наиболее эффективных методов, используемых в математической физике. Смысл законов подобия состоит в том, что они позволяют сворачивать большие многообразия решений в более узкие, подобные группы.

Далее будет использован один из подходов к выводу законов подобия – это непосредственное приведение уравнений, начальных и граничных условий задачи к безразмерному виду путем отнесения входящих в них величин к характерным масштабам задачи.

Для задач внешнего обтекания все газодинамические переменные отнесем к их значениям в невозмущенном потоке и характерному размеру тела. Тогда в качестве безразмерных переменных используем следующие (см.[14]):

,

где черточки над функциями относятся к размерным величинам.

В качестве примера построим в безразмерных переменных

одномерную систему уравнений Навье-Стокса.

Учитывая уравнения (8), запишем одномерную систему в следующем виде:

и вектор потока

 

В полной записи:

Упростим второе уравнение системы. Для этого умножим первое уравнение на величину u и вычтем его из преобразованного второго уравнения:

Для упрощения третьего уравнения системы, умножая первое уравнение на величины и соответственно и по очереди отнимая от третьего уравнения, а затем от оставшейся части третьего уравнения отнимая второе умноженное на величину , получим

. Таким образом, упрощенная одномерная система уравнений Навье – Стокса получается следующая:

(11)

Замечание. Все уравнения записаны в размерных переменных. Черточки опущены по умолчанию.

В безразмерных переменных преобразованная одномерная система уравнений (11) примет вид:

(12)

Задача обтекания геометрически подобных тел, одинаково ориентированных к внешнему потоку, содержит три безразмерных критерия подобия:

Замечание. Одним из важных критериев подобия является число Маха. Число Маха характеризует отношение местной скорости газа к скорости звука и наряду с числом Рейнольдса определяет качественный характер течения. Число Маха имеет и математический смысл, оно определяет вид исследуемого уравнения. Если нестационарные уравнения газовой динамики имеют гиперболический вид, то стационарные уравнения являются гиперболическими в сверхзвуковой области (при М> 1) и эллиптическими – в дозвуковой (при М< 1).