Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме

.

Модули умножаются, а аргументы складываются.

 

Пример 235 .

 

Деление

.

 

Модули делятся, а аргументы вычитаются.

 

Пример 236

 

Возведение в степень

.

 

Пример 237 .

Извлечение корня − й степени:

 

,

 

где .

 

Пример 238 .

 

Решение .

 

.

 

.

 

.

 

.

 

15.9 Показательнаяформа комплексного числа

Воспользуемся формулами Эйлера:

 

,

 

можно показать, что

 

.

 

Тогда из тригонометрической формы можно перейти в показательную форму.

 

 

показательная форма комплексного числа.

Все действия выполняются после перехода в тригонометрическую форму.

 

Операционное исчисление

 

.

 

Функция называется лапласовым изображением, или - изображением, или просто изображениемфункции .

Функцию называют начальной функцией, или оригиналом. Если есть изображение функции , то пишут так:

 

или или .

 

Таблица некоторых изображений

Таблица 4

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

Пример 239 Найти изображение функции: .

 

 

(воспользовались 2-м и 3-м пунктами таблицы).

 

Пример 240 Найти оригинал изображения:

 

.

 

Решение (2, 3 пункты таблицы).

 

Пример 241 Найти оригинал изображения: .

Решение Преобразуем :

 

 

(8-й пункт таблицы).

 

Пример 242 Найти оригинал изображения .

Решение

 

 

(9, 8 пункты таблицы).

 

Пример 243 Найти изображение функции .

 

Решение

 

(Использованы пункты 5, 7, 1 таблицы).