Система n лінійних рівнянь з n невідомими

Хай дана лінійна система п рівнянь з п невідомими, де a_ij b_i, (i = 1, 2..., n; j= 1, 2..., n) - довільні числа, звані, відповідно, коефіцієнтами при змінних і вільними членами рівнянь.

(1)

Такий запис (1) називається системою лінійних рівнянь в нормальній формі.

Рішенням системи (1) називається така сукупність n чисел (х₁ = k₁, x₂=k₂, x_n=k_n), при підстановці яких кожне рівняння системи звертається у вірну рівність.

Система рівнянь сумісна, якщо вона має хоч би одне рішення і несумісна, якщо вона не має рішень.

Якщо сумісна система рівнянь має єдине рішення, вона називається визначеною; навпаки, система рівнянь називається невизначеною, якщо вона має більш за одне рішення.

Дві системи рівнянь є рівносильними або еквівалентними, якщо вони мають одну і ту ж безліч рішень. Система, рівносильна даній може бути отримана за допомогою елементарних перетворень системи (1).

Систему можна також записати у вигляді матричного рівняння:

А´ Х = У

де А — матриця коефіцієнтів при змінних, або матриця системи:

 

 

X — матриця-стовпець (вектор) невідомих:

 

В — матриця-стовпець (вектор) вільних членів:

 

 

У розгорненому вигляді систему (1) можна представити таким чином:

 

Існує ряд методів рішення системи, орієнтованих на обчислення уручну: методи Крамера, Гауса і т.д. Припускаючи використання комп'ютера для проведення обчислень, найдоцільніше розглянути рішення системи в загальному вигляді (метод зворотної матриці). Вважатимемо, що квадратна матриця системи А_nm є невиродженою, тобто її визначник |А| ¹ 0. В цьому випадку існує зворотна матриця А^-1.

Умножаючи зліва обидві частини матричної рівності на зворотну матрицю А^-1 отримаємо:

А^-1 ´ А ´ Х = А^-1´ В, Е ´ Х = А^-1 ´ В;

Е ´ Х = Х,

звідси рішенням системи методом зворотної матриці буде матриця-стовпець

 

Х = А^-1´ В

 

Таким чином, для вирішення системи (знаходження вектора X) необхідно знайти зворотну матрицю коефіцієнтів і помножити її справа на вектор вільних членів. Виконання цих операцій в пакеті Excel розглянуте у лабораторній роботі «Дії з масивами».

Приклад. Хай необхідно вирішити систему

 

 

Рішення

1. Введіть матрицю А (в даному випадку розміру 2 х 2) в діапазон А2: В3; Вектор В = (7 40) введіть в діапазон С2: С3.

2. Знайдіть зворотну матрицю А^-1. Для цього:

§ виділите блок осередків під зворотну матрицю. Наприклад, виділіть блок А5: В6;

§ натисніть на панелі інструментів Стандартна кнопку Вставка функції;

§ у полі Категорія виберіть Математичні, а в робочому полі Функція — ім'я функції МОБР. Після цього клацніть на кнопці 0К;

§ у другому кроці діалогу МОБР введіть діапазон початкової матриці А2: В3 в робоче поле Масив (покажчиком миші при натиснутій лівій кнопці). Дії закінчіть натисканням клавіш CTRL+SHIFT+ENTER; В результаті в діапазоні АЗ: В4 з'явиться зворотна матриця:

 

3. Множенням зворотної матриці А^-1 на вектор В знайдіть вектор X. Для цього:

§ виділіть блок осередків під результуючу матрицю (під вектор X). Її розмірність буде т × р, в даному прикладі 2× 1 Наприклад, виділіть блок осередків С5: С6 (покажчиком миші при натиснутій лівій кнопці);

§ у вікні Майстра функцій в робочому полі Категорія виберіть Математичні, а в робочому полі Функція ім'я функції — МУМН0Ж;

§ у другому кроці діалогу введіть діапазон зворотної матриці А5: В6 в робоче поле Массив1 (покажчиком миші при натиснутій лівій кнопці), а діапазон матриці В — С2: С3 — в робоче поле Массив2. Після цього натисніть поєднання клавіш CTRL+SHIFT+ENTER;

§ в результаті в діапазоні С5: С6 з'явиться вектор X. Причому х = 5 буде знаходитися в осередку С5, а у = -4 — в осередку С5.

Можна здійснити перевірку знайденого рішення. Для цього знайдений вектор X необхідно підставити в початкове матричне рівняння А× Х= В.

Перевірка проводиться таким чином.

1. Виділите блок осередків під результуючу матрицю (під вектор В). Її розмірність буде т × р, в даному прикладі 2× 1. Наприклад, виділите блок осередків D2: D3 (покажчиком миші при натиснутій лівій кнопці).

2. У діалоговому вікні Майстер функцій в робочому полі Категорія виберіть Математичні, а в робочому полі Функція — ім'я функції МУМНОЖ. Клацніть на кнопці ОК.

3. Введіть діапазон початкової матриці А — А2: В3 в робоче поле Массив1 (покажчиком миші при натиснутій лівій кнопці), а діапазон матриці X — С5: С6 - в робоче поле Массив2. Після цього натисніть поєднання клавіш CTRL+SHIFT+ENTER.

В результаті в діапазоні D2: D3 з'явиться вектор В, і, якщо система вирішена правильно, вектор, що з'явився, буде рівний результатному В = (7 40).

 

Вправи

Вирішіть самостійно наступні приклади і зробіть перевірку.

Номер варіанта	Завдання	Номер варіанта	Завдання