Для косвенных измерений

При косвенных измерениях искомую физическую величину определяют путем вычислений по результатам прямых измерений других величин. Для оценки погрешностей косвенных измерений величины необходимо вывести формулу для ее относительной погрешности . Пусть искомая величина является функцией нескольких переменных:

(12)

Тогда для расчета погрешности измерений можно использовать дифференциальный ( другое название логарифмический) метод, в основе которого лежит свойство натурального логарифма:

Полный дифференциал логарифма исходной функции будет равен:

где - показатели степени аргументов

Таким образом, получаем:

Учитывая, что дифференциал независимой переменной равен ее приращению (), и если приращение аргумента мало для функции, то дифференциал функции приблизительно равен ее приращению, то есть , получаем:

Значения измеряют один или несколько раз и обрабатывают по правилам оценки погрешностей прямых измерений. Если при логарифмировании и дифференцировании в выражении появились знаки «–», то для нахождения максимальной относительной погрешности их необходимо заменить на знаки «+».

Таким образом, для определения погрешностей косвенных измерений искомой величины используют формулу, полученную по следующим правилам:

ـ взять натуральный логарифм расчетной формулы;

ـ продифференцировать полученное выражение;

ـ произвести замену знаков дифференциала на знаки конечного приращения ;

ـ знаки “минус” заменить знаками “плюс”, так как суммарная погрешность всегда больше погрешности отдельных измерений;

ـ в полученную формулу подставить средние арифметические значения измеренных величин и их абсолютные погрешности;

ـ рассчитать относительную (), а затем абсолютную () погрешности измерений искомой величины;

ـ результат измерений записать в виде: .

Пример:

Пусть в лабораторной работе требовалось определить удельное сопротивление проволоки с использованием закона Ома. Прямыми измерениями определяются сила тока , напряжение , длина , площадь поперечного сечения проволоки через радиус . Тогда расчетная формула будет иметь вид:

Выведем формулу для расчета погрешностей:

ـ ;

ـ ; (в данном случае число принято за постоянную);

ـ ;

ـ ;

ـ ;

ـ ;

ـ результат запишем в виде: (Ом·м)

Е_ρ =…%

В таблице 1 представлены уже готовые формулы расчета погрешностей для наиболее распространенных функциональных зависимостей, выведенные с использованием логарифмического метода.

Таблица 1.

Формулы расчета погрешностей для некоторых функциональных зависимостей

№	Вид зависимости	Формула относительной погрешности
		=
		=
		=
		=
		=
		=
		=
		=
		=
		=

 

Для расчета абсолютной погрешности измерений применяется формула:

Например, при определении количества теплоты, выделяющегося в нагревателе, с помощью закона Джоуля-Ленца в виде:

,

формула для расчета относительной погрешности измерения количества теплоты , согласно строке 3 таблицы 1, будет иметь вид:

Абсолютную погрешность измерений найдем как:

 

Контрольные вопросы

1. Дайте определения терминам «измерение», «объект измерения», «метод и средства измерений».

2. Сформулируйте понятия основной и производной физических величин.

3. Что представляет собой Международная система единиц?

4. Какие измерения называются прямыми? Косвенными?

5. Что называется средством измерения, перечислите виды средств измерений.

6. Чем отличаются эталонные, рабочие и образцовые средства измерений?

7. Каковы основные виды и методы измерений?

8. Дайте определение погрешности измерений, перечислите ее виды.

9. Как рассчитать погрешность прибора по его классу точности?

10. Дайте характеристику составляющим погрешности.

11. Как рассчитываются погрешности при прямых измерениях?

12. Расскажите о расчете погрешностей при косвенных измерениях.