Включающая фиктивные переменные

 

По данным опроса 15 женщин (табл.2.2), находящихся в роддоме, исследовать зависимость веса новорожденного (у) от среднего числа сигарет (х), выкуриваемых матерью в день, с учетом числа уже имеющихся у матери детей (z).

Таблица 2.2.

№ п/п	у (кг)	х	z	d 1	d 2	d 3
	3, 52						3, 65	-0, 13
	3, 46						3, 32	0, 14
	3, 20						3, 38	-0, 18
	3, 32						3, 31	0, 01
	3, 54						3, 61	-0, 07
	3, 31						3, 42	-0, 11
	3, 36						3, 29	0, 07
	3, 65						3, 65	0, 00
	3, 15						3, 27	-0, 12
	3, 44						3, 61	-0, 17
	3, 10						3, 10	0, 00
	3, 22						3, 14	0, 08
	3, 71						3, 53	0, 18
	3, 76						3, 72	0, 04
	3, 92						3, 68	0, 24

Решение. Чтобы учесть при решении задачи число детей, уже имеющихся у матерей, нужно либо сгруппировать матерей по числу детей и построить для каждой группы свою модель, либо ввести фиктивные переменные.

Предварительно сгруппируем матерей по количеству уже имеющихся у них детей:

Количество детей у матери (z)
Количество матерей (mz)

 

Как видим, первый подход к построению регрессионной модели следует сразу отвергнуть из-за малого числа наблюдений в группах.

Предположив, что модели могут различаться только свободным членом, т.е. наличие структурных сдвигов. Введем фиктивные переменные d_i, где i = 1, 2, 3 и пусть

 

Поясним, что в модель мы не включили фиктивную переменную d ₀, т.к. в этом случае и фиктивные переменные становятся линейно зависимыми, а матрица Х ^Т Х - вырожденной.

Предположив линейную зависимость веса новорожденного от х, d ₁, d ₂ и d ₃, найдем МНК-оценку линейного уравнения регрессии:

Ниже уравнения в скобках указаны оценки среднеквадратических отклонений коэффициентов регрессии . Можно легко убедиться, что коэффициенты при переменных d ₂ и d ₃ не значимы, т.к. статистика t -критерия для этих переменных меньше табличного значения t _кр = 1, 812 при a=0, 05 и n=(n ‑ p ‑ 1)=10 (таблица П6).

После реализации пошагового алгоритма регрессионного анализа получено уравнение регрессии со всеми значимыми коэффициентами:

(2.6)

Об адекватности модели свидетельствуют его параметры: множественный коэффициент детерминации , оценка остаточной дисперсии , средняя относительная ошибка аппроксимации и расчетное значение F-критерия (F_набл=15, 378).

Уравнение регрессии значимо, т.к. F_набл больше табличного значения F_кр=2, 81, найденного при a=Q=0, 05 и числа степеней свободы n₁=2 и n₂=12 (таблица П5).

Из модели (2.6) следует, что структурный сдвиг имеет место лишь для случая d ₁ =1. Таким образом, у курящих женщин, рожающих второго ребенка, зависимость веса новорожденного (у) от числа выкуриваемых за день сигарет определяется регрессионной моделью

(2.7)

(свободный член получен как сумма: 3, 833=3, 681+0, 152), у остальных курящих женщин эта зависимость имеет вид:

(2.8)

Сопоставляя модели (2.7) и (2.8) можно отметить, что при рождении вес второго ребенка у курящих женщин будет в среднем на 0, 152 кг выше, чем вес детей у остальных женщин, выкуривающих в день те же (х) сигарет.