Раскрытие неопределенностей ([0×¥], [¥ – ¥], [1¥], [¥0], 00])

 

В случае неопределенности вида [0× ¥ ] или [¥ – ¥ ], следует функцию, стоящую под пределом, преобразовать алгебраически так, чтобы привести её к неопределенности вида или и далее воспользоваться правилом Лопиталя. В частности, используется преобразование произведение к дроби: .

Неопределенности типов [1^¥ ], [¥ ⁰], 0⁰] раскрываются с помощью предварительного логарифмирования функции, стоящей под пределом.

 

Пример 7.

.

 

Решение.

[0× ¥ ] V .

Ответ: –1.

 

 

Пример 8.

.

 

Решение.

[¥ × 0] V

Ответ:

 

 

Пример 9.

.

 

Решение.

[¥ -¥ ] V = V V

Ответ:

 

Пример 10.

.

 

Решение.

Данный предел содержит неопределенность [1^¥ ]. Обозначим . Тогда

Вычислим V =

Итак, получено, что .

 

Здесь знаки предела и логарифма были переставлены в соответствии со свойством пределов непрерывных функций:

если непрерывная функция в точке х = а.

Ответ: .

 

 

Пример 11.

.

 

Решение.

Данный предел содержит неопределенность [¥ ⁰]. Обозначим тогда

Вычислим [0× ¥ ]=

V =

Так как то

Ответ:

 

Пример 12.

=[0⁰]

 

Решение.

= V .

 

Получено Þ

Здесь показана наиболее короткая запись вычислений, поясненных в предыдущих примерах.

Ответ: =1.

 

 

Дополнительные упражнения.

 

1.	2. ;
3.	4. ;
5.	6. ;
7.	8. ;
9.	10. ;
11.	12. ;
13. ;	14. ;
15. ;	16. ;
17. ;	18. ;
19. ;	20. ;
21. .

Ответы.

1. ; 2. ; 3. ; 4. 2; 5. ; 6. 0;

7. ; 8. 1; 9. ; 10. –2; 11. 1; 12. 0;

13. 0; 14. ; 15. ; 16. 0; 17. 0; 18. ;

19. 1; 20. ; 21. 1.