Преобразование точек

Точка представляется на плоскости двумя своими координатами, которые определяются как элементы матрицы размером 1х2 [х у]. В трехмерном пространстве используется матрица размером 1х3 [x у z]. Иначе говоря, точка может задаваться в виде вектор-столбца

	x y

в двумерном пространстве или в виде

	x y z

в трехмерном. Строку [х у] или столбец часто называют координатным вектором. Для формирования такого вектора используется матрица-строка, т. е. множество точек, каждая из которых определяет координатный вектор в некоторой системе измерения. Данное множество хранится в виде матрицы или массива чисел. Положением точек можно управлять путем манипулирования соответствующей матрицей. Линии, соединяющие точки, формируют отрезки, кривые и картинки.

В качестве элементов матрицы могут фигурировать различные величины: числа, сетки или коэффициенты системы уравнений. Правила в матричной алгебре определяют допустимые операции над элементами. Многие физические задачи удобно выражаются в матричном представлении. Для моделей физических систем задача обычно ставится следующим образом: даны матрицы [А] и [В], найти результирующую матрицу [Т], такую, что [А][Т] = [В]. В этом случае решением является матрица [Т] = [А]^-1[В], где [А]^-1 - матрица, обратная к квадратной матрице [А].

В то же время матрицу [Т] можно интерпретировать как геометрический оператор. В этом случае для выполнения геометрического преобразования точек, представленных векторами положений в матрице [А], используется умножение матриц. Предположим, что матрицы [А] и [T] известны. Требуется определить элементы матрицы [В]. Представление [T] как геометрического оператора является основой математических преобразований, используемых в машинной графике.

Рассмотрим результаты умножения матрицы [х у], содержащей координаты точки Р, на матрицу общего преобразования размером 2х2:

[X][T] = [x y]		a b c d		[(ax + cy) (bx + dy)]

Данная запись означает, что исходные координаты точки х и у преобразуются в х* и y*, где где х* = ах + су, у* = bх + dy. Представляют интерес значения х*, у* - координаты результирующей, преобразованной точки Р. Рассмотрим некоторые специальные случаи.

При а = d = 1 и с = b = 0 преобразование сведется к единичной матрице

[X][T] = [x y]		1 0 0 1		[x y] = [x* y*]

и координаты точки Р останутся неизменными. Как и следовало ожидать, в линейной алгебре умножение на единичную матрицу эквивалентно умножению на 1 в обычной алгебре.

В случае d = 1, b = c = 0

[X][T] = [x y]		а 0 0 1		[аx y] = [x* y*]

где х* = ах - результат масштабирования координаты х. Эффект показан на рисунке 1.1, а.

Рассмотрим теперь еще случай b = с = 0, т.е.

[X][T] = [x y]		а 0 0 d		[аx yd] = [x* y*]

Данное преобразование вызывает изменение обеих координат х и у вектора Р (рис. 1.1, b). Если а < > d, то координаты масштабируются различным образом. При a = d > 1 происходит растяжение вектора Р или масштабирование координат. Если 0 < а = d < 1, то имеет место сжатие.

Если значение а или d отрицательное, то вектор отражается относительно координатных осей или относительно плоскости. Чтобы убедиться в этом, возьмем b = c = 0, d = 1 и а = 1, тогда

[X][T] = [x y]		-1 0 0 1		[-x y] = [x* y*]

и в результате получаем симметричное отражение относительно оси y (рис. 1.1, c). Если b = c = 0, а = 1, d = -1, то выполняется симметричное отражение относительно оси х. Если b = с = 0, а = d < 0, то происходит отражение относительно начала координат, это показано на рисунке 1.1, d, где a = -1, d =1. Заметим, что обе операции отражения и масштабирование зависят только от диагональных членов матрицы преобразования.

Рассмотрим теперь случай с недиагональными членами. Возьмем сначала значения a = d = 1, c = 0, тогда

[X][T] = [x y]		1 b 0 1		[x (bx + y)] = [x* y*]

Заметим, что координата х точки Р осталась неизменной, тогда как координата y линейно зависит от исходных координат. Данное преобразование называется сдвигом (рис. 1.1, e). Аналогично, в случае, когда а = d = 1, b = 0, преобразование приведет к сдвигу пропорционально координате y (рис. 1.1, f). Таким образом, видно, что недиагональные члены матрицы преобразования создают эффект сдвига координат вектора точки Р.

Прежде чем закончить с преобразованием точек, разберем действие общего преобразования, когда начальный вектор лежит в точке начала координат, т.е.

[X][T] = [x y]		a b c d		[(ax + cy) (bx + dy)]

или в случае начала координат,

[X][T] = [0 0]		a b c d		[0 0] = [x* y*]

Видно, что начало координат инвариантно относительно преобразования общего вида. Это ограничение устраняется при использовании однородных координат.