С распределенным лагом
Рассмотрим модель с распределенным лагом в ее общем виде в предположении, что максимальная величина лага конечна:
.
Данная модель говорит о том, что если в некоторый момент времени t происходит изменение независимой переменной x, то это изменение будет влиять на значения переменной y в течение l следующих моментов времени.
Коэффициент регрессии при перемеренной характеризует среднее абсолютное изменение при изменении на 1 единицу своего измерения в некоторый фиксированный момент времени , без учета воздействия лаговых значений фактора . Этот коэффициент называют краткосрочным мультипликатором.
В момент совокупное воздействие факторной переменной на результат составит условных единиц, в момент это воздействие можно охарактеризовать суммой и т. д. Полученные таким образом суммы называют промежуточным мультипликаторами.
С учетом конечной величины лага можно сказать, что изменение переменной в момент на 1 у.е. приведет к общему изменению результата через моментов времени на абсолютных единиц.
Введем следующее обозначение:
Величину называют долгосрочным мультипликатором, который показывает абсолютное изменение в долгосрочном периоде результата под влиянием изменения на 1 ед. фактора .
Предположим,
.
Назовем полученные величины относительными коэффициентами модели с распределенным лагом. Если все коэффициенты имеют одинаковые знаки, то выполняются условия и . Каждый из коэффициентов измеряет долю от общего изменения результативного признака в момент времени .
Зная величины , можно определить еще две важные характеристики: величину среднего и медианного лагов.
Средний лаг вычисляется по формуле
и представляет собой средний период, в течение которого будет происходить изменение результата под воздействием изменения фактора в момент времени t. Небольшая величина среднего лага свидетельствует об относительно быстром реагировании результата на изменение фактора, тогда как высокое его значение говорит о том, что воздействие фактора на результат будет сказываться в течение длительного периода времени.
Медианный лаг – это величина лага, для которого . Это период времени, в течение которого с момента времени t будет реализована половина общего воздействия фактора на результат.
Лаги, структуру которых можно описать с помощью полиномов, называют лагами Алмон.
Формально модель зависимости коэффициентов от величины лага j в форме полинома можно записать так:
.
Тогда каждый из коэффициентов модели можно выразить следующим образом:
(*)
Подставив данные соотношения в модель, и перегруппировав слагаемые, получим
Введем новые обозначения
……………………………………………..
.
Тогда модель с распределенным лагом будет выглядеть следующим образом:
.
Процедура применения метода Алмон для расчета параметров модели с распределенным лагом выполняется следующим образом:
1. Определяется максимальная величина лага l.
2. Определяется степень полинома k, описывающего структуру лага.
3. Рассчитываются значения переменных .
4. Определяются параметры уравнения линейной регрессии по данным значениям и .
5. С помощью соотношений (*) рассчитываются параметры исходной модели с распределенным лагом .
Пример.
В таблице представлены данные по региону о месячном доходе на душу населения (x) и денежных расходах населения (y) по месяцам за 2 года.
Задание.
I. Построить модель с распределенным лагом используя лаги от одного до трех месяцев
При этом необходимо:
1. Применить обычный МНК.
2. Применить метод Алмон, исходя из предположения, что лаг имеет линейную структуру .
3. Рассчитать средний и медианный лаги.
II. Построить модель с распределенным лагом используя лаги от одного до четырех месяцев
.
При этом необходимо:
1. Применить обычный МНК.
2. Применить метод Алмон, исходя из предположения, что структура лага описывается полиномом второй степени , где
3. Рассчитать средний и медианный лаги.
I. Выполняем расчет для регрессии через Анализ данных/Регрессия. Для этого строим вспомогательную таблицу
Протокол расчета:
ВЫВОД ИТОГОВ
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| Регрессионная статистика
|
|
|
|
| Множественный R
| 0, 997244635
|
|
|
|
| R-квадрат
| 0, 994496863
|
|
|
|
| Нормированный R-квадрат
| 0, 993121078
|
|
|
|
| Стандартная ошибка
| 5, 802269075
|
|
|
|
| Наблюдения
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| Дисперсионный анализ
|
|
|
|
|
| df
| SS
| MS
| F
| Значимость F
| Регрессия
|
| 97343, 91021
| 24335, 97755
| 722, 85812
| 7, 53348E-18
| Остаток
|
| 538, 6612227
| 33, 66632642
|
|
| Итого
|
| 97882, 57143
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| Коэффициенты
| Стандартная ошибка
| t-статистика
| P-Значение
|
| Y-пересечение
| -8, 212350419
| 4, 986282848
| -1, 646988482
| 0, 1190561
|
| Переменная X 1
| 0, 618169232
| 0, 149223144
| 4, 142582811
| 0, 0007651
|
| Переменная X 2
| -0, 056537753
| 0, 206740199
| -0, 273472472
| 0, 787987
|
| Переменная X 3
| 0, 323694928
| 0, 20619296
| 1, 569864111
| 0, 136009
|
| Переменная X 4
| 0, 066599661
| 0, 154758466
| 0, 430345831
| 0, 672684
|
| То есть модель имеет вид
.
Удовлетворительным результат назвать нельзя, поскольку
· вычисленные коэффициенты не являются статистически значимыми (вероятность ошибки их расчета значительно превышают допустимый уровень в 0, 05);
· коэффициенты имеют разные знаки, что противоречит здравому смыслу: влияние признака x в разные периоды не может быть разнонаправленным.
2) Применяем метод Алмон для расчета параметров модели
.
а) Структура лага линейная, т.е.
Необходимо преобразовать исходные данные в новые переменные . Это преобразование выглядит следующим образом:
.
Строим регрессию
Протокол расчета
Регрессионная статистика
|
|
|
|
| Множественный R
| 0, 99673
|
|
|
|
| R-квадрат
| 0, 993471
|
|
|
|
| Нормированный R-квадрат
| 0, 992745
|
|
|
|
| Стандартная ошибка
| 5, 958766
|
|
|
|
| Наблюдения
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| Дисперсионный анализ
|
|
|
|
|
|
| df
| SS
| MS
| F
| Значимость F
| Регрессия
|
| 97243, 44739
| 48621, 72369
| 1369, 360199
| 2, 15734E-20
| Остаток
|
| 639, 1240428
| 35, 50689127
|
|
| Итого
|
| 97882, 57143
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| Коэффициенты
| Стандартная ошибка
| t-статистика
| P-Значение
|
| а
| -7, 81343
| 5, 112546309
| -1, 528284687
| 0, 143824277
|
| с0
| 0, 413363
| 0, 083158004
| 4, 970810164
| 9, 88999E-05
|
| с1
| -0, 11675
| 0, 056121391
| -2, 080299087
| 0, 052057898
|
|
По найденным коэффициентам находим параметры , а именно
Получили модель с распределенным лагом
.
Эта регрессия лишена недостатков предыдущей:
· вычисленные коэффициенты являются статистически значимыми (вероятность ошибки их расчета почти не превышают допустимый уровень в 0, 05);
· коэффициенты имеют одинаковые знаки.
Сравним исходные данные и результаты регрессии:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 116, 1747
| 1, 380007
| 12736, 73469
|
|
|
| 127, 7237
| 39, 39197
| 8809, 163265
|
|
|
| 138, 3324
| 40, 09969
| 9188, 591837
|
|
|
| 148, 9222
| 15, 38369
| 6865, 306122
|
|
|
| 156, 4765
| 0, 22705
| 5163, 44898
|
|
|
| 164, 28
| 7, 398396
| 3703, 591837
|
|
|
| 174, 8603
| 9, 857755
| 2485, 734694
|
|
|
| 192, 9347
| 82, 17878
| 668, 5918367
|
|
|
| 214, 4897
| 0, 239842
| 192, 0204082
|
|
|
| 223, 8711
| 1, 274391
| 8, 163265306
|
|
|
| 234, 7261
| 5, 170752
| 83, 59183673
|
|
|
| 245, 7482
| 22, 5451
| 172, 7346939
|
|
|
| 257, 1173
| 172, 0626
| 260, 5918367
|
|
|
| 266, 5144
| 110, 5516
| 792, 0204082
|
|
|
| 273, 223
| 4, 941541
| 1861, 306122
|
|
|
| 278, 5463
| 89, 37272
| 3617, 163265
|
|
|
| 285, 8544
| 9, 895109
| 3738, 44898
|
|
|
| 296, 9458
| 0, 002938
| 4780, 734694
|
|
|
| 310, 1861
| 3, 290132
| 7080, 020408
|
|
|
| 330, 1949
| 23, 08866
| 11479, 59184
|
|
|
| 347, 8782
| 0, 771296
| 14195, 02041
| Среднее
| 227, 8571
|
|
|
|
| Сумма
|
|
|
| 639, 124
| 97882, 57143
|
Для оценки качества построения модели сравниваем остаточную и общую дисперсии. Отношение суммы квадратов остатков регрессии к общей сумме квадратов отклонений уровней ряда от его среднего значения равно
.
Построенная модель достоверна на больше, чем на 99%.
Рассчитаем средний и медианный лаг по построенной модели временного ряда. Для удобства данные сводим в таблицу
Лаг, j
| Коэффициенты модели
| Относительные коэффициенты
,
| Средний лаг
| Медианный лаг –величина лага, для которого .
|
| 0, 41
| 0, 43
|
|
|
| 0, 3
| 0, 31
|
| 0, 18
| 0, 19
|
| 0, 06
| 0, 07
| Выводы:
Такая величина среднего и медианного лагов свидетельствует об относительно быстром реагировании результата на изменение фактора, в основном в текущем и следующем за текущим периоде.
|
II. Строим модель с распределенным лагом в четыре временных периода, исходя из гипотезы о квадратичной структуре лага .
Тогда
.
Преобразование для вспомогательных переменных выглядит следующим образом:
;
.
Строим регрессию .
Протокол расчета
ВЫВОД ИТОГОВ
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| Регрессионная статистика
|
|
|
|
| Множественный R
| 0, 996328351
|
|
|
|
| R-квадрат
| 0, 992670183
|
|
|
|
| Нормированный R-квадрат
| 0, 991295843
|
|
|
|
| Стандартная ошибка
| 6, 222115169
|
|
|
|
| Наблюдения
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| Дисперсионный анализ
|
|
|
|
|
|
| df
| SS
| MS
| F
| Значимость F
| Регрессия
|
| 83889, 56453
| 27963, 18818
| 722, 28832
| 2, 77251E-17
| Остаток
|
| 619, 4354747
| 38, 71471717
|
|
| Итого
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| Коэффициенты
| Стандартная ошибка
| t-статистика
| P-Значение
|
| a
| -6, 683191872
| 6, 247481362
| -1, 069741786
| 0, 3006088
|
| с0
| 0, 457847985
| 0, 116502829
| 3, 929930209
| 0, 0011959
|
| с1
| -0, 239601907
| 0, 191844893
| -1, 248935549
| 0, 2296532
|
| с2
| 0, 035280787
| 0, 047693437
| 0, 739740933
| 0, 4701727
|
| По найденным коэффициентам находим параметры , а именно
Получили модель с распределенным лагом в четыре периода:
.
Сравним исходные данные и результаты регрессии:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 128, 6768
| 28, 33637171
| 8809, 163265
|
|
|
| 138, 3068
| 39, 77582876
| 9188, 591837
|
|
|
| 148, 7868
| 14, 3399158
| 6865, 306122
|
|
|
| 155, 7168
| 0, 080197636
| 5163, 44898
|
|
|
| 164, 2568
| 7, 525101647
| 3703, 591837
|
|
|
| 175, 2768
| 7, 415773972
| 2485, 734694
|
|
|
| 194, 0068
| 63, 8911163
| 668, 5918367
|
|
|
| 214, 6868
| 0, 471705405
| 192, 0204082
|
|
|
| 221, 4068
| 12, 91102783
| 8, 163265306
|
|
|
| 232, 8968
| 16, 83618354
| 83, 59183673
|
|
|
| 245, 8768
| 23, 78325752
| 172, 7346939
|
|
|
| 257, 4968
| 182, 1638296
| 260, 5918367
|
|
|
| 265, 2268
| 85, 13398823
| 792, 0204082
|
|
|
| 272, 2668
| 1, 604802833
| 1861, 306122
|
|
|
| 278, 0368
| 99, 26519228
| 3617, 163265
|
|
|
| 285, 9668
| 9, 200252932
| 3738, 44898
|
|
|
| 297, 3368
| 0, 113439715
| 4780, 734694
|
|
|
| 310, 1568
| 3, 397356277
| 7080, 020408
|
|
|
| 330, 1268
| 23, 74799902
| 11479, 59184
|
|
|
| 346, 7768
| 0, 049814612
| 14195, 02041
| Среднее
| 227, 8571
|
|
|
|
| Сумма
|
|
|
| 620, 0431557
| 85145, 83673
|
Для оценки качества построения модели сравниваем остаточную и общую дисперсии. Отношение суммы квадратов остатков регрессии к общей сумме квадратов отклонений уровней ряда от его среднего значения равно
.
Построенная модель также как и предыдущая достоверна больше, чем на 99%.
Задание для самостоятельной работы
Вариант 1
| Вариант 2
| Вариант 3
| Вариант 4
| Вариант 5
| x
| y
| y
| x
| y
| x
| x
| y
| x
| y
|
|
| 3, 5
| 1, 51
| 70, 8
| 101, 7
|
|
|
|
|
| 6, 5
| 3, 6
| 1, 5
| 98, 7
| 101, 1
| 101, 6
| 76, 8
|
| 6, 5
|
| 6, 8
| 3, 7
| 1, 53
| 97, 9
| 100, 4
| 107, 2
| 79, 9
|
| 6, 8
|
|
| 3, 7
| 1, 53
| 99, 6
| 100, 1
| 111, 1
| 80, 5
|
|
|
| 7, 4
| 3, 8
| 1, 55
| 96, 1
|
| 115, 1
| 71, 3
|
| 7, 4
|
|
| 3, 9
| 1, 58
| 103, 4
| 100, 1
| 120, 9
| 115, 4
|
|
|
| 8, 2
| 4, 1
| 1, 62
| 95, 5
|
| 127, 4
| 150, 8
|
| 8, 2
|
| 8, 7
| 4, 2
| 1, 65
| 102, 9
| 105, 8
| 134, 4
|
|
| 8, 7
|
|
| 4, 3
| 1, 63
| 77, 6
|
| 138, 8
| 174, 6
|
|
|
|
| 4, 4
| 1, 65
| 102, 3
| 99, 8
| 143, 7
| 264, 4
|
|
|
| 10, 5
| 4, 5
| 1, 67
| 102, 9
| 102, 7
|
| 328, 8
|
| 10, 5
|
|
| 4, 5
| 1, 64
| 123, 1
| 109, 4
|
| 294, 33
|
|
|
|
| 4, 6
| 1, 69
| 74, 3
|
|
| 116, 84
|
|
|
| 12, 8
| 4, 7
| 1, 74
| 92, 9
| 106, 4
|
| 94, 22
|
| 12, 8
|
|
| 4, 9
| 1, 8
|
| 103, 2
|
| 44, 18
|
|
|
|
| 4, 8
| 1, 75
| 99, 8
| 103, 2
|
| 59, 82
|
|
|
|
| 4, 8
| 1, 65
| 105, 2
| 102, 9
|
| 48, 67
|
|
|
|
|
| 1, 73
| 99, 7
| 100, 8
|
| 28, 45
|
|
|
|
| 5, 1
| 1, 81
| 99, 7
| 101, 6
|
| 20, 28
|
|
|
| 23, 1
| 5, 3
| 1, 87
| 107, 9
| 101, 5
|
| 17, 9
|
| 23, 1
|
|
| 5, 4
| 1, 88
| 98, 8
| 101, 4
|
| 18, 5
|
|
|
|
| 5, 4
| 1, 8
| 104, 6
| 101, 7
| 46, 81
| 16, 89
|
|
|
|
| 5, 4
| 1, 84
| 106, 4
| 101, 7
| 43, 25
| 10, 89
|
|
|
|
|
|
| 122, 7
| 101, 2
|
|
|
|
|
Вариант 6
| Вариант 7
| Вариант 8
| Вариант 9
| Вариант 10
| y
| x
| x
| y
| y
| x
| y
| x
| x
| y
| 98, 7
| 101, 1
|
|
| 70, 8
| 101, 7
| 3, 5
| 1, 51
|
| 6, 8
| 97, 9
| 100, 4
|
|
| 98, 7
| 101, 1
| 3, 6
| 1, 5
|
|
| 99, 6
| 100, 1
|
|
| 97, 9
| 100, 4
| 3, 7
| 1, 53
|
| 7, 4
| 96, 1
|
|
|
| 99, 6
| 100, 1
| 3, 7
| 1, 53
|
|
| 103, 4
| 100, 1
|
|
| 96, 1
|
| 3, 8
| 1, 55
|
| 8, 2
| 95, 5
|
|
|
| 103, 4
| 100, 1
| 3, 9
| 1, 58
|
| 8, 7
| 102, 9
| 105, 8
|
|
| 95, 5
|
| 4, 1
| 1, 62
|
|
| 77, 6
|
|
|
| 102, 9
| 105, 8
| 4, 2
| 1, 65
|
|
| 102, 3
| 99, 8
|
|
| 77, 6
|
| 4, 3
| 1, 63
|
| 10, 5
| 102, 9
| 102, 7
|
|
| 102, 3
| 99, 8
| 4, 4
| 1, 65
|
|
| 123, 1
| 109, 4
|
|
| 102, 9
| 102, 7
| 4, 5
| 1, 67
|
|
| 74, 3
|
|
|
| 123, 1
| 109, 4
| 4, 5
| 1, 64
|
| 12, 8
| 92, 9
| 106, 4
|
|
| 74, 3
|
| 4, 6
| 1, 69
|
|
|
| 103, 2
|
|
| 92, 9
| 106, 4
| 4, 7
| 1, 74
|
|
| 99, 8
| 103, 2
|
|
|
| 103, 2
| 4, 9
| 1, 8
|
|
| 105, 2
| 102, 9
|
|
| 99, 8
| 103, 2
| 4, 8
| 1, 75
|
|
| 99, 7
| 100, 8
|
|
| 105, 2
| 102, 9
| 4, 8
| 1, 65
|
|
| 99, 7
| 101, 6
|
|
| 99, 7
| 100, 8
|
| 1, 73
|
| 23, 1
| 107, 9
| 101, 5
|
|
| 99, 7
| 101, 6
| 5, 1
| 1, 81
|
|
| 98, 8
| 101, 4
|
|
| 107, 9
| 101, 5
| 5, 3
| 1, 87
|
|
|
|
|
|
| 98, 8
| 101, 4
| 5, 4
| 1, 88
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| Лабораторная работа №10
Вычисление основной дактилоскопической формулы Вычислением основной дактоформулы обычно занимается следователь. Для этого все десять пальцев разбиваются на пять пар...
|
Расчетные и графические задания Равновесный объем - это объем, определяемый равенством спроса и предложения...
|
Кардиналистский и ординалистский подходы Кардиналистский (количественный подход) к анализу полезности основан на представлении о возможности измерения различных благ в условных единицах полезности...
|
Обзор компонентов Multisim Компоненты – это основа любой схемы, это все элементы, из которых она состоит. Multisim оперирует с двумя категориями...
|
|
Условия приобретения статуса индивидуального предпринимателя. В соответствии с п. 1 ст. 23 ГК РФ гражданин вправе заниматься предпринимательской деятельностью без образования юридического лица с момента государственной регистрации в качестве индивидуального предпринимателя. Каковы же условия такой регистрации и...
Седалищно-прямокишечная ямка Седалищно-прямокишечная (анальная) ямка, fossa ischiorectalis (ischioanalis) – это парное углубление в области промежности, находящееся по бокам от конечного отдела прямой кишки и седалищных бугров, заполненное жировой клетчаткой, сосудами, нервами и...
Основные структурные физиотерапевтические подразделения Физиотерапевтическое подразделение является одним из структурных подразделений лечебно-профилактического учреждения, которое предназначено для оказания физиотерапевтической помощи...
|
|
Дизартрии у детей Выделение клинических форм дизартрии у детей является в большой степени условным, так как у них крайне редко бывают локальные поражения мозга, с которыми связаны четко определенные синдромы двигательных нарушений...
Педагогическая структура процесса социализации Характеризуя социализацию как педагогический процессе, следует рассмотреть ее основные компоненты: цель, содержание, средства, функции субъекта и объекта...
Типовые ситуационные задачи. Задача 1. Больной К., 38 лет, шахтер по профессии, во время планового медицинского осмотра предъявил жалобы на появление одышки при значительной физической
Задача 1. Больной К., 38 лет, шахтер по профессии, во время планового медицинского осмотра предъявил жалобы на появление одышки при значительной физической нагрузке. Из медицинской книжки установлено, что он страдает врожденным пороком сердца....
|
|