Исследование дискретной и непрерывной случайных величин

Цель работы: научиться использовать закон распределения случайной величины для нахождения вероятностей и числовых характеристик исследуемой случайной величины.

Краткий теоретический материал. Случайной величиной (с.в.) называется величина, которая в результате опыта со случайным исходом принимает то или иное значение. Случайная величина называется дискретной (д.с.в.), если множество её значений конечно или счётно. Случайная величина называется непрерывной, если множество её значений занимает некоторый промежуток.

Законом распределения с.в. называется правило, которое связывает значения с.в. и соответствующие им вероятности. Закон распределения д.с.в. можно задать с помощью ряда или функции распределения. Рядом распределения д.с.в. ξ называется таблица, в верхней строке которой перечислены все значения с.в., а в нижней – вероятности этих значений.

 

ξ	х 1	x 2	…	x n	…
P	р 1	р 2	…	pn	…

 

При этом . Функцией распределения с.в. ξ называется вероятность того, что она примет значение меньше, чем заданное x: .

Закон распределения непрерывной с.в. можно задать с помощью плотности или функции распределения. Плотностью распределения непрерывной с.в. называется первая производная от функции распределения: (предполагается, что функция распределения дифференцируема при всех действительных х за исключением, быть может, конечного числа точек).

Отметим некоторые свойства плотности и функции распределения.

1)

2)

3)

Математическим ожиданием дискретной с.в. ξ называется её среднее значение (если множество значений с.в. счётно, то рассматривается числовой ряд).

Математическим ожиданием непрерывной с.в. ξ называется её среднее значение .

Дисперсией с.в. ξ называется среднее значение квадрата отклонения с.в. от её математического ожидания: .

Для дискретной с.в. (если множество значений с.в. счётно, то рассматривается числовой ряд).

Для непрерывнойс.в. .