ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ. Метод Монте-Карло является методом статистического моделирования

Метод Монте-Карло является методом статистического моделирования. Его применение эффективно там, где сложно или невозможно построение аналитической модели. Например, в системах массового обслуживания, не являющихся марковскими системами, в задачах надежности, управления, экономики и т.п., вообще, для сложных систем, которые состоят из большого числа взаимодействующих элементов.

Идея метода заключается в следующем. Вместо того, чтобы описывать процесс с помощью аналитического аппарата (дифференциальных или алгебраических уравнений), производится «розыгрыш» случайного явления с помощью специально организованной процедуры, включающей в себя случайность и дающей случайный результат реализации процесса. Множество реализаций можно использовать как некий искусственно полученный статистический материал, который может быть обработан обычными методами математической статистики и получены интересующие нас статистические характеристики. При моделировании случайных явлений методом Монте-Карло мы пользуемся самой случайностью как аппаратом исследования.

В математике метод Монте-Карло применяется для вычисления интегралов, особенно многомерных, для решения систем алгебраических уравнений высокого порядка и т.п.

Метод Монте-Карло имеет простую структуру вычислительного алгоритма. Как правило, составляется программа для осуществления одного случайного испытания. Затем это испытание повторяется N раз, причем каждый опыт не зависит от всех остальных, и результаты всех опытов осредняются. Поэтому метод Монте-Карло называют также методом статистического моделирования.

Погрешность вычисления метода, как правило, пропорциональна , где D – некоторая постоянная, N – число испытаний. Отсюда видно, что для того, чтобы уменьшить погрешность в 10 раз, нужно увеличить N в 100 раз.

Приведем важное для метода Монте-Карло соотношение:

, (1.1)

где - случайная величина; m – неизвестная искомая величина (статистическую оценку которой необходимо получить); b – среднеквадратичное отклонение случайной величины (одинаково для всех ).

Соотношение (1.1) дает нам метод расчета m и оценку погрешности. В самом деле, найдем N значений случайной величины . Из (1.1) видно, что среднее арифметическое этих значений будет приближенно равно m. С большой вероятностью погрешность такого приближения не превосходит величины . Очевидно, эта погрешность стремится к нулю с ростом N.

В рассматриваемой работе требуется определить среднее время работы РТК. При этом известны интенсивность потока отказов и схема поточной линии.

Известно, что поток отказов подчиняется экспоненциальному (показательному) закону распределения с плотностью распределения

,

где - интенсивность потока отказов (число отказов в сутки); t –последовательности значений продолжительности интервалов между отказами.

Требуется смоделировать случайную величину, распределенную в соответствии с экспоненциальным законом.

Существует основное соотношение, связывающее случайные числа с заданным законом распределения и случайные числа с равномерным законом распределения в интервале [0, 1]. Суть его состоит в том, что для преобразования последовательности случайных чисел с равномерным законом распределения в интервале [0, 1] в последовательность случайных чисел с заданной функцией распределения необходимо из совокупности случайных чисел с равномерным законом распределения выбрать случайное число и решить уравнение

относительно x.

Для случая экспоненциального распределения выразим через

. (1.2)

Значения определяем по генератору случайных чисел в MS EXCEL (или другой программе) или по таблице случайных чисел.

Рассмотрим применение метода Монте-Карло для статистической оценки некоторого определенного интеграла

,

где - область в n -мерном пространстве.

В лабораторной работе для простоты вычислений рассматривается определенный интеграл от функции одной переменной

(3)

Требуется найти его статистическую оценку . Задача сводится к оценке отношения площади криволинейной трапеции, соответствующей некоторому определенному интегралу, к площади квадрата, в который этот интеграл может быть вписан, т.е. имеющий координаты: (а, 0), (b, 0), (а, b-а), (b, b-а).

Идея метода заключается в следующем. Выберем пару случайных чисел х: и у: – их можно рассматривать как координаты случайной точки в указанном квадрате. Затем выберем следующую пару чисел и т.д. Когда число выбранных таким образом точек станет достаточно большим, они более-менее равномерно покроют данный квадрат. При этом множество точек N, попавших под кривую , будет пропорционально площади криволинейной трапеции, а множество всех точек M – площади квадрата.

Тогда статистическая оценка искомого интеграла найдется по формуле

, (1.4)

где S – площадь квадрата со стороной b-а.

Погрешность (абсолютная) может быть найдена из разности:

(1.5)