Приклади розв'язання завдань. Приклад 1. Розрахувати реакцію фільтра другого порядку з кінцевою імпульсною характеристикою (КІХ-фільтра другого порядку)

Приклад 1. Розрахувати реакцію фільтра другого порядку з кінцевою імпульсною характеристикою (КІХ-фільтра другого порядку), заданого різницевим рівнянням [10]

 

y (n) = 0, 1 x (n) + 0, 5 x (n – 1) + 0, 7 x (n – 2),

де n = 0: 31; ω Т = 0, 5; х (n) = sin(ω Tn).

Розв’язання. У часовій області співвідношення вхід-вихід може описуватися з допомогою різницевого рівняння (РР)

 

(26)

 

яке задається вектором коефіцієнтів дії

 

b = [ b 0, b 1, …, bi, …, bN – 1]

(27)

 

і вектором коефіцієнтів реакції

 

a = [ a 0, a 1, …, ak, …, aM – 1].

(28)

 

Перший елемент векторa a ₀ завжди дорівнює одиниці.

У часовій області співвідношення вхід-вихід може описуватися формулою згортання

(29)

 

де імпульсна характеристика і дія задаються у вигляді скінченних послідовностей (векторів).

У пакеті MATLAB математичною моделлю КІХ-фільтра другого порядку називають опис співвідношення вхід-вихід у вигляді рівняння або системи рівнянь, що дає змогу обчислити реакцію на задану дію. Моделювання роботи КІХ-фільтра другого порядку на основі різницевого рівняння (26) — обчислення реакції на вхідну дію за нульових початкових умов (НПУ) — виконується з допомогою функції filter, формат якої має вигляд

 

filter(b, а, х),

де b — вектор коефіцієнтів дії у порядку їх дотримання;
а — вектор коефіцієнтів реакції у порядку їх дотримання, перший елемент завжди дорівнює одиниці;
х — вектор відліків сигналу х (n).

Розв’язання:

» b = [0.1 0.5 0.7];
» а = [1];
» n = 0: 32;
» x = sin(0.5.*n);
» y = filter(b, a, x);
» plot(n, x, n, у'--'), grid
» hold on
» stem(n, x)
» stem(n, у)
» gtext('Вихідний сигнал')
» gtext('Вхідний сигнал')

Результати розрахунку показано на рис. 17, де окрім дискретних сигналів зображено їхні обвідні.

 

Рис. 17

Приклад 2 [4]. Розрахувати реакцію фільтра другого порядку з нескінченною імпульсною характеристикою (НІХ-фільтра другого порядку), заданого різницевим рівнянням

 

у (n) = х (n) + х (n – 1) + х (n – 2) + 0, 7 у (n – 1) – 0, 25 у (n – 2), (30)

 

де n = 0 … 32; ω Т = 0, 5; х (n) = sin(ω Тn).

Розв’язання:

» b = [1 1 1];
» а = [1 0.7 -0.25];
» n = 0: 32;
» x = sin(0.5*n);
» y = filter(b, a, x);
» plot(n, x, n, у', -.'), grid
» hold on
» stem(n, x), gtext('x(n)')

» stem(n.y), gtext('y(n)')

Результати розрахунку показано на рис. 18, де окрім дискретних сигналів зображено їхні обвідні.

 

Рис. 18

Розрахунок імпульсної характеристики з допомогою різницевого рівняння: функція filter [4]. Для того щоб обчислити імпульсну характеристику БІХ-фільтра за різницевим рівнянням (30), необхідно за дію вибрати одиничний цифровий імпульс — вектор [1 0...], де кількість нулів відповідає довжині імпульсної характеристики (насправді нескінченної).

Приклад 3. Обчислити імпульсну характеристику НІХ-фільтра, заданого різницевим рівнянням (30) [4].

Розв’язання. Введемо позначення: h — імпульсна характеристика; delta — одиничний цифровий імпульс завдовжки 51 відлік (одиниця і 50 нулів):

» b = [1 1 1];
» а = [1 0.7 -0.25];
» delta = [l; zeros(50, 1)];
» h = filter(b, a, delta);
» stem(0: length(delta) - I, h)
» grid

Графік імпульсної характеристики зображено на рис. 19.

 

Рис. 19

 

Розрахунок імпульсної характеристики за коефіцієнтами різницевого рівняння: функція impz. Імпульсну характеристику можна розрахувати безпосередньо за коефіцієнтами різницевого рівняння з допомогою функції impz [4], формат якої має вигляд

 

[ h, nT ] = impz (b, a, N, F_s),

де b — вектор коефіцієнтів дії в порядку їх дотримання;
a — вектор коефіцієнтів реакції у порядку їх дотримання, перший еле-мент завжди дорівнює 1;
N — кількість відліків імпульсної характеристики (яка є нескінченною), що розраховується;
F_s — частота дискретизації, Гц;
h — вектор-стовпець відліків імпульсної характеристики;
nT — вектор-стовпець значень дискретного часу.

Приклад 4. Визначити імпульсну характеристику БІХ-фільтра за даними попереднього прикладу при N = 50 і F_s = 2000 Гц.

Розв’язання:

» b = [1 1 1];
» а = [1 0.7 -0.25];
» N = 50;
» F_s = 2000;
» [h, nT] = impz(b, a, N, Fs);
» stem(nT, h), grid

Графік імпульсної характеристики (рис. 20) має такий самий вигляд, як і в попередньому прикладі (при обчисленні з допомогою функції filter), за виключенням того, що замість осі нормованого часу n є вісь nT.

Рис. 20

 

Якщо потрібна вісь n, то зручніше використовувати інший формат

функції impz:

h = impz (b, a, N).

Для цього прикладу (рис. 21)

» h = impz(b, а, 50);
» n = 1: 50;
» stem(n, h), grid

Рис. 21

 

Моделювання роботи цифрових фільтрів на основі рівняння згортання: функція conv [4]. Моделювання роботи цифрових фільтрів у часовій області на основі рівняння згортання (30) з нульовими початковими умовами виконується з допомогою функції conv, формат якої має вигляд

conv(x, h) або conv(h, Jt),

де х — вектор відліків дії завдовжки k = length(x);
h — вектор відліків імпульсної характеристики завдовжки i = length(h).

Унаслідок обчислення функція conv повертає вектор реакції завдовжки k + i – 1.

Приклад 5. Обчислити реакцію КІХ-фільтра, заданого різницевим рівнянням у прикладі 1 [9].

Розв’язання. Імпульсна характеристика дорівнює вектору коефіцієнтів різницевого рівняння:

» b = [0.1 0.5 0.7];
» h = b;
» n = 0: 32;
» x = sin(0.5.*n);
» y = conv(h, x);
» k = length(y)
k = 35
» stem(n, x)
» hold on
» plot(n, x), grid
» nс = 0: (k - l);
» stem(nc, y)
» plot(nc, y'--')
» gtext('Вхідний сигнал')
» gtext('Вихідний сигнал')

Результати розрахунку показано на рис. 22.

 

Рис. 22

 

Приклад 6. Обчислити реакцію НІХ-фільтра, заданого різницевим рівнянням (30).

Розв’язання. Імпульсну характеристику цифрового фільтра, розраховану в прикладі 3, обчислимо з допомогою такої програми:

 

» b = [1 1 1];
» а = [1 0.7 -0.25];
» delta = [1; zeros(50, 1)]';
» h = filter(b, a, delta);
» n = 0: 32;
» x = sin(0.5.*n);
» y = conv(x, h);
» k = length(y)
k = 83
» stem(0: 82, y), grid

 

Графік імпульсної характеристики зображено на рис. 23.

 

Рис. 23

 

Обчислення імпульсної характеристики НІХ-фільтра за відомими реак-цією та дією: функція deconv [5]. Функція deconv виконує операцію, яка є зворотною згортанню. Тому, якщо реакція (вектор у) і дія (вектор х) є відомими, а вектори коефіцієнтів а, b невідомими, імпульсну характеристику можна знайти з допомогою функції deconv, що має в цьому випадку формат

h = deconv(y, x),

 

де у, х, h — вектори відліків реакції, дії та імпульсної характеристики.

Обчислення імпульсної характеристики з допомогою функції deconv є можливим тільки в тому випадку, якщо перші елементи векторів х та у відрізняються від нуля.

Приклад 7. Обчислити імпульсну характеристику за умови, що дію обчислено з допомогою функції conv в прикладі 3.

Розв’язання [9]:

» h = deconv(y, х)

 

??? Error using ==> deconv
First coefficient of A must be non-zero.

 

У цьому випадку обчислення імпульсної характеристики з допомогою функції deconv є неможливим.

Приклад 7. Обчислити імпульсну характеристику НІХ-фільтра за умови, що дія вхідного сигналу

 

x (n) = cos(0, 5 n).

 

Розв’язання. Визначимо реакцію НІХ-фільтра:

 

» b = [0.1 0.5 0.7];
» h = b;
» n = 0: 32;
» x = cos(0, 5.*n);
» y = dconv(h, х).

 

Виконаємо зворотну процедуру: за відомими параметрах x, y знайдемо імпульсну характеристику — вектор h:

 

» h = deconv (x, y)

h = 0.1000 0.5000 0.7000