Студопедия — Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси






 

Вращением вокруг неподвижной оси называют такое движение твердого тела, при котором две какие-либо точки, принадлежащие телу, остаются неподвижными. Прямую, проходящую через эти точки, называют осью вращения тела. Перемещение тела из одного положения в другое называют поворотом. Все точки тела, лежащие на оси вращения, неподвижны. Все точки, не лежащие на оси вращения, описывают окружности, плоскости которых перпендикулярны оси вращения, а центры расположены на оси.

Тело, вращающееся вокруг неподвижной оси, имеет одну степень свободы, так как его положение в пространстве в любой момент времени полностью определяется одним независимым параметром – плоским углом j между двумя плоскостями: неподвижной и подвижной, жестко связанной с вращающимся телом (рис. 2.1). Этот угол называют угломповорота тела и измеряют в радианах. При этом принято считать угол поворота j положительным, если поворот тела, наблюдаемый с положительного направления оси Оz, виден происходящим против хода часовой стрелки.

Таким образом, закон вращательного движения можно считать установленным, если задан угол поворота тела как функция времени

. (2.6)

Основными кинематическими характеристиками вращательного движения тела в целом являются угловая скорость и угловое ускорение. Угловая скорость тела – это векторная величина, характеризующая интенсивность и направление изменения угла поворота тела.

 

Алгебраическое значение угловой скорости равно первой производной по времени от угла поворота тела

. (2.7)

Угловое ускорение тела – это векторная величина, характеризующая интенсивность изменения угловой скорости. Алгебраическое значение углового ускорения равно первой производной по времени от угловой скорости тела или второй производной по времени от угла поворота тела

. (2.8)

Размерность угловой скорости в системе СИ – рад/с, размерность углового ускорения – рад/с2. Число оборотов тела N и число оборотов в минуту n связаны с углом поворота j(t)и угловой скоростью следующими зависимостями:

j = 2p N рад;

рад/с.

Установим зависимости между общими кинематическими характеристиками вращательного движения тела в целом, а также скоростями и ускорениями различных точек этого тела. Траекториями точек тела при его вращении вокруг неподвижной оси являются окружности, лежащие в плоскостях, перпендикулярных оси вращения, радиусы которых равны расстояниям от этих точек до оси вращения. Применяя естественный способ задания движения точки тела и учитывая, что , где h – расстояние от точки до оси вращения тела (см. рис. 2.1), для скорости и ускорения точки М запишем

(2.9)

(2.10)

(2.11)

где v – алгебраическое значение скорости точки М; и – алгебраические значения составляющих полного вектора ускорения этой точки. Здесь величины и соответствуют касательному и нормальному ускорениям точки, однако, при изучении вращательного движения их принято называть вращательным ускорением () и осестремительным или центростремительнымускорением (). Определим модуль полного вектора ускорения точки

. (2.12)

Из приведенных формул видно, что скорости, ускорения и составляющие ускорения точек тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, пропорциональны расстояниям от точек до оси вращения тела.

Приведем также векторные формулы, описывающие кинематические характеристики тела и его точек (см. рис. 2.1), для чего введем векторы угловой скорости и углового ускорения

(2.13)

где – единичный вектор оси, совпадающий по направлению с положительным направлением оси вращения тела; и – величины, имеющие смысл проекций векторов угловой скорости и углового ускорения на ось вращения тела. Таким образом, вектор угловой скорости располагается на оси вращения и направлен так, что с его вершины вращение тела наблюдается против стрелки часов. Вектор углового ускорения тоже располагается на оси вращения. Если знаки и совпадают, то он направлен так же, как и вектор угловой скорости (вращение ускоренное), а в противном случае – противоположно вектору угловой скорости (вращение замедленное).

Скорость и ускорение точки тела определим по формулам:

(2.14)

где – радиус-вектор точки, проведенный из любой точки на оси вращения тела, знак «» означает векторное произведение.

Вращение называют равномерным, если в процессе движения угловая скорость остается постоянной по модулю и по направлению, т.е., если . Умножив правую и левую части этого равенства на величину dt и проинтегрировав левую часть полученного равенства в пределах от до φ, а правую – от 0 до t, получим закон равномерного вращения:

. (2.15)

Вращение называют равнопеременным, если угловое ускорение тела в процессе движения остается постоянным по модулю и направлению, т.е., если . Чтобы найти закон изменения угловой скорости в этом случае, проинтегрируем левую часть равенства пределах от до , а правую часть – от 0 до t:

. (2.16)

Так как , то полученное выражение запишем в следующем виде . Интегрируя это выражение при изменении угла поворота от до и времени от 0 до t, запишем закон равнопеременного вращения:

. (2.17)

 







Дата добавления: 2014-10-29; просмотров: 953. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Кардиналистский и ординалистский подходы Кардиналистский (количественный подход) к анализу полезности основан на представлении о возможности измерения различных благ в условных единицах полезности...

Обзор компонентов Multisim Компоненты – это основа любой схемы, это все элементы, из которых она состоит. Multisim оперирует с двумя категориями...

Композиция из абстрактных геометрических фигур Данная композиция состоит из линий, штриховки, абстрактных геометрических форм...

Важнейшие способы обработки и анализа рядов динамики Не во всех случаях эмпирические данные рядов динамики позволяют определить тенденцию изменения явления во времени...

Реформы П.А.Столыпина Сегодня уже никто не сомневается в том, что экономическая политика П...

Виды нарушений опорно-двигательного аппарата у детей В общеупотребительном значении нарушение опорно-двигательного аппарата (ОДА) идентифицируется с нарушениями двигательных функций и определенными органическими поражениями (дефектами)...

Особенности массовой коммуникации Развитие средств связи и информации привело к возникновению явления массовой коммуникации...

Толкование Конституции Российской Федерации: виды, способы, юридическое значение Толкование права – это специальный вид юридической деятельности по раскрытию смыслового содержания правовых норм, необходимый в процессе как законотворчества, так и реализации права...

Значення творчості Г.Сковороди для розвитку української культури Важливий внесок в історію всієї духовної культури українського народу та її барокової літературно-філософської традиції зробив, зокрема, Григорій Савич Сковорода (1722—1794 pp...

Постинъекционные осложнения, оказать необходимую помощь пациенту I.ОСЛОЖНЕНИЕ: Инфильтрат (уплотнение). II.ПРИЗНАКИ ОСЛОЖНЕНИЯ: Уплотнение...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.013 сек.) русская версия | украинская версия