Лекция 7. 14-10-2014 §3. Ряды Тейлора и ЛоранаТеорема 1 о разложении в ряд Тейлора. Всякая функция, аналитическая в круге причём общий вид коэффициента также может быть записан (по интегральной теореме Коши). Метод определения круга сходимости (до ближайшей особой точки). Пример. Разложить в ряд Тейлора с помощью геометрической прогрессии:
Приложения рядов Тейлора. 1. Приближённые вычисления. 2. Нахождение производной высокого порядка. Пример. 3. Нахождение определённого интеграла. Пример. 4. Решение дифф. уравнений. Пример.
Теорема 2 Область сходимости ряда Лорана есть кольцо. (доказать). Пример. Найти кольцо сх ряда Лорана:
Теорема 3 о разложении в ряд Лорана. Всякая функция, аналитическая в кольце, представима в виде ряда Лорана. Пример. Разложить в ряд Лорана:
|
, представима в виде степенного ряда 
по степеням z, 
по степеням z и по степеням (z-1).
от 
.
с помощью ряда.
(
)
то есть 
в кольце 
и во внешней области 
.
