Если члены знакочередующегося ряда

(3)

1) монотонно убывают по абсолютной величине:

2) и стремятся к нулю: ,

то ряд (3) сходится, сумма его S положительна и не превосходит первого члена ряда:

.

Если знакочередующийся ряд начинается с отрицательного члена:

,

и для этого ряда выполнены условия 1) и 2) теоремы Лейбница, то и такой ряд сходится, сумма его S отрицательна и удовлетворяет неравенству

.

 

 

При замене суммы S ряда, удовлетворяющего признаку Лейбница, суммой n его первых членов () абсолютная величина ошибки не превышает абсолютного значения первого из отброшенных членов: . Знак ошибки (знак ) совпадает со знаком первого из отброшенных членов. Здесь (см. §1).

Пример 1. Ряд , называемый рядом Лейбница, сходится по признаку Лейбница. В то же время ряд, составленный из абсолютных величин его членов

расходится (гармонический ряд). Таким образом, ряд Лейбница – условно (неабсолютно) сходящийся ряд.

Пример 2. Ряд (4)

является знакочередующимся. При p > 0 он удовлетворяет условиям признака Лейбница:

1)

2)

и, следовательно, сходится.

Если заменить все члены их абсолютными величинами, получим ряд Дирихле:

,

который сходится при p > 1 и расходится при p ≤ 1 (см. §2). Таким образом, ряд (4) при p > 1 сходится абсолютно, а при 0 < p ≤ 1 сходится условно.

Пример 3. Доказать сходимость ряда .

Составим ряд из абсолютных величин членов данного ряда, т. е. ряд

(5)

Так как |sin n | ≤ 1, то каждый член ряда (5) не превышает соответствующего члена ряда

(6)

Ряд (6) является рядом Дирихле, т. е. рядом вида , где p = 3. Так как p > 1, то ряд (6) сходится. Согласно первому признаку сравнения, ряд (5) также сходится. Тогда, по теореме об абсолютной сходимости, данный знакопеременный ряд сходится абсолютно.

Пример 4. Сколько членов ряда

нужно взять, чтобы вычислить его сумму с точностью до 0, 001?

Данный ряд является знакочередующимся рядом, удовлетворяющим всем условиям признака Лейбница:

.

Следовательно, данный ряд сходится, притом абсолютно.

Чтобы вычислить сумму этого ряда с указанной точностью, необходимо найти такой член, абсолютная величина которого меньше 0, 001, т. е.

или , иначе говоря, n > 10. Следовательно, нужно просуммировать 10 первых членов данного ряда. Так как

,

то получаем следующую оценку для ошибки:

.

Пример 5. Исследовать, сходится или расходится ряд

.

Данный ряд знакочередующийся. Абсолютная величина его общего члена

.

Поскольку

,

т. е. общий член ряда к нулю не стремится, ряд расходится (не выполнен необходимый признак сходимости).

В заключение темы " Числовые ряды" напомним, какие признаки сходимости можно применять к рядам с положительными членами, и какие – к знакопеременным рядам:

 

 

Необходимый признак сходимости
Ряды с положительными членами		Знакопеременные ряды
Признаки сравнения Признак Даламбера Признак Коши Интегральный признак		Теорема Лейбница (знакочередующиеся ряды) Теорема об абсолютной сходимости (знакопеременные ряды)