Определение неизвестной функции распределения

Пусть мы имеем дело с непрерывной случайной величиной , значения которой получены из наблюдений. Разобьем диапазон наблюдаемых значений на интервалы ] X₀, X₁ [, ] X₁, X₂ [,..., ] X_k-1, X_k [ одинаковой длины . Пусть m_i - число наблюдаемых значений , попавших в i -й интервал. Разделив m_i на общее число наблюдений n, получим частоту , соответствующую i -му интервалу: , причем . Составим следующую таблицу:

Номер интервала	Интервал	mi
	] X0, X1 [	m1
	] X1, X2 [	m2
...	...	...	...
k	] Xk-1, Xk [	mk

которая называется статистическим рядом. Эмпирической (или статистической) функцией распределения случайной величины называется частота события, заключающегося в том, что величина в результате опыта примет значение, меньшее x:

На практике достаточно найти значения статистической функции распределения F^*(x) в точках X₀, X₁,..., X_k, которые являются границами интервалов статистического ряда:

(65)

Cледует заметить, что F*(x)=0 при x< X₀ и F*(x)=1 при x> X_k. Построив точки M_i [X_i; F*(X_i)] и соединив их плавной кривой, получим приближенный график эмпирической функции распределения (рис. 15). Используя закон больших чисел Бернулли, можно доказать, что при достаточно большом числе n испытаний с вероятностью, близкой к единице, эмпирическая функция распределения F*(x) отличается сколь угодно мало от неизвестной нам функции распределения F(x) cлучайной величины

Часто вместо построения графика эмпирической функции распределения поступают следующим образом. На оси абсцисс откладывают интервалы ] X₀, X₁ [, ] X₁, X₂ [,..., ] X_k-1, X_k [. На каждом интервале строят прямоугольник, площадь которого равна частоте , соответствующей данному интервалу. Высота h_i этого прямоугольника равна , где - длинна каждого из интервалов. Ясно, что сумма площадей всех построенных прямоугольников равна единице.
Рассмотрим функцию , которая в интервале ] X_i-1, X_i [ постоянна и равна h_i. График этой функции называется гистограммой. Он представляет собой ступенчатую линию (рис. 16). С помощью закона больших чисел Бернулли можно доказать, что при малых и больших n с практической достоверностью как угодно мало отличается от плотности распределения непрерывной случайной величины .

 

Пример. Измерен диаметр у 270 валов хвостовика. Значения диаметра (в см) оказались в диапазоне 66-90 см. Разбив этот диапазон на интервалы диной 2 см ( =2), получим статистический ряд (см. таблицу)

 

Номера интервалов	Интервалы	mi
(1)	(2)	(3)	(4)	(5)
	]66, 68[		0, 015	0, 008
	]68, 70[		0, 045	0, 022
	]70, 72[		0, 090	0, 045
	]72, 74[		0, 152	0, 076
	]74, 76[		0, 185	0, 092
	]76, 78[		0, 196	0, 098
	]78, 80[		0, 144	0, 072
	]80, 82[		0, 096	0, 048
	]82, 84[		0, 048	0, 024
	]84, 86[		0, 019	0, 009
	]86, 88[		0, 007	0, 004
	]88, 90[		0, 003	0, 002
			1, 000

Построим гистограмму и эмпирическую функцию распределения. Подсчитанные частоты приведены в столбце (4), а значения высот h_i прямоугольников гистограммы - в столбце (5). Гистограмма изображена на рис. 17.

Значения эмпирической функции распределения в граничных точках интервалов вычислены по формуле (65) и приведены в следующей таблице:

x
F*(x)		0, 015	0, 060	0, 150	0, 302	0, 487	0, 683	0, 827	0, 923	0, 971	0, 990	0, 997	1, 000

Так, например,

График функции F*(x) изображен на рис.18.