Множества

Понятие множества принадлежит к числу фундаментальных понятий математики.

Определение 1 Под множеством S будем понимать любую совокупность определенных и различимых между собой объектов, мыслимых как единое целое. Эти объекты называются элементами множества S.

Определение 2. Множеством называют совокупность объектов, объединенных некоторым свойством. Объекты, входящие в множество, называются элементами множества.

Обычно множества обозначают прописными буквами латинского алфавита: A, B, C, …; а элементы множеств – строчными буквами: a, b, c, ….

Если объект х является элементом множества М, то говорят, что х принадлежит М: хÎ М. В противном случае говорят, что х не принадлежит М: хÏ М.

Пример 1. Множество студентов, присутствующих на лекции; множество четных чисел и т. д.

Определение 2. Множество А называется подмножеством множества В, если всякий элемент из А является элементом В. Если А является подмножеством В и В не является подмножеством А, то говорят, что А является строгим (собственным) подмножеством множества В.

В первом случае используется обозначение , во втором случае− .

Определение 3. Множество, не содержащее элементов, называется пустым и обозначается через Æ, оно является подмножеством любого множества. Множество U такое, что любое множество являются его подмножеством, называется универсальным.

Определение 4. Множества А и В считаются равными, если они состоят из одних и тех же элементов, пишут А=В, А¹ В – в противном случае.

Очевидно, что множества А и В равны, если

Способы задания множеств:

§ перечислением элементов: М={a₁, a₂, …, a_k}, т. е. списком своих элементов;

§ характеристическим предикатом: М={x | P(x)}(описанием характеристических свойств, которыми должны обладать его элементы);

§ порождающей процедурой: M={ x | x=f}, которая описывает способ получения элементов множества из уже полученных элементов либо других объектов. В таком случае элементами множества являются все объекты, которые могут быть построены с помощью такой процедуры. Например, множество всех целых чисел, являющихся степенями двойки.

Замечание. Характеристический предикат – это некоторое условие, выраженное в форме логического утверждения или процедуры, возвращающей логическое значение. Если для данного элемента условие выполнено, то он принадлежит определяемому множеству, в противном случае – не принадлежит. Порождающая процедура – это процедура, которая, будучи запущенной, порождает некоторые объекты, являющиеся элементами определяемого множества.