Теоретические основы. Парная регрессия - уравнение связи двух переменных у и х:

Парная регрессия - уравнение связи двух переменных у и х:

 

 

где у - зависимая переменная (результативный признак);

х - независимая, объясняющая переменная (признак-фактор).

 

Различают линейные и нелинейные регрессии.

Линейная регрессии:

Нелинейные регрессии делятся на два класса (Рис. 1.1): регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам, и регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам.

Регрессии, нелинейные по объясняющим переменным:

• полиномы разных степеней:

• равносторонняя гипербола у = а +

Регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам:

• степенная ;

• показательная y = ;

• экспоненциальная у =

Построение уравнения регрессии сводится к оценке ее параметров. Для оценки параметров регрессий, линейных по параметрам, используют метод наименьших квадратов (МНК). МНК позволяет получить такие оценки параметров, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака у от теоретических минимальна, т.е.

(1)

 

Рис. 1.1. Основные типы кривых, используемые при количественной оценке связей между двумя переменными.

 

Последний график неверен!

Основное свойство МНК: из всего множества линий линия регрессии на графике выбирается так, чтобы сумма квадратов расстояний по вертикали между точками и этой линией была бы минимальной (рис. 1.2):

Рис. 1.2. Линия регрессии с минимальной дисперсией остатков.

 

Для линейных уравнений регрессии вида из условия (1) получается следующая система нормальных уравнений относительно а и b:

 

Можно воспользоваться готовыми формулами, которые вытекают из этой системы:

.

 

Тесноту связи изучаемых явлений оценивает линейный коэффициент парной корреляции r_ху для линейной регрессии (-1 ≤ r_ху ≤ 1):

 

r_ху =

 

и индекс корреляции - для нелинейной регрессии (0 ≤ р_ху ≤ 1):

 

= .

 

Оценку качества построенной модели даст коэффициент (индекс) детерминации, а также средняя ошибка аппроксимации.

Средняя ошибка аппроксимации - среднее отклонение расчетных значений от фактических:

 

 

Допустимый предел значений - не более 8 - 10%.

Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов измениться в среднем результат, если фактор изменится на 1%. Формула для расчета коэффициента эластичности имеет вид:

.

Средний коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов в среднем по совокупности изменится результат у от своей средней величины при изменении фактора на 1% от своего среднего значения:

 

=f '(х)

Так как для остальных функций коэффициент эластичности не является постоянной величиной, а зависит от соответствующего значения фактора , то обычно рассчитывается средний коэффициент эластичности

Приведем формулы для расчета средних коэффициентов эластичности для наиболее часто используемых типов уравнений регрессии:

 

 

Таблица 1.