Черкаси 2009 7 страница

(О.З.П. для прогнозу) (9.15)

(О.З.П. для коректора) (9.16)

Припустимо, що крок h настільки малий, що y ⁽⁵⁾(t) майже стала на інтервалі . Тоді із формул (9.15) і (9.16) можемо виключити елементи, які містять похідну п’ятого порядкую, і в результаті отримати формулу:

(9.17)

Формула (9.17) дає оцінку прогнозу, яка ґрунтується на обчисленні значень і і не використовує . Її можна застосовувати для покращення значень прогнозу. Якщо припустити, що різниця між значеннями прогнозу і корекції на кожному кроці змінюється повільно, то можна підставити і замість і в формулу (9.17) і отримати наступний управляючий параметр:

(9.18)

Його значення використовується замість на кроці корекції, і формула (9.14) приймає вигляд:

(9.19)

Таким чином, в покращеному модифікованому методі Мілна-Сімпсона послідовно використовуються наступні формули:

(прогноз)

(управляючий параметр)

(9.20)

(коректор)

9.3. Метод Хеммінга

Ще один важливий метод для розв’язання задачі Коші y’=f(t, y) з початковою умовою y(a)=y₀ на інтервалі [a, b] – метод Хеммінга. Прогноз, як і в попередніх методах, базується на наближенні поліномом Лагранжа для . Він побудований по точкам та . При інтегруванні отриму­ємо прогноз Хеммінга:

Крайова диференційна задача пошуку часткового розв‘язку диференційного рівняння. Для двоточкової крайової задачі диференційне рівняння другого порядку запишемо у вигляді:

(10.1)

з крайовими умовами

(10.2)

Додаткові умови можуть зв‘язувати між собою значення кількох функцій в різних точках.

Крайова задача може мати єдиний розв‘язок, або навіть не один розв‘язок, а також розв‘язок задачі може не існувати. Тому перед початком розв‘язання крайової задачі потрібно перевірити умови існування розв‘язку задачі. Теорема 10.1 визначає загальні умови існування єдиного розв‘язку диференційної крайової задачі.

Теорема 10.1. Допустимо, що неперервна в області

(10.3)

і що рівняння

(10.4)

теж неперервні на D. Якщо існує постійна М > 0, для якої виконуються умови

(10.5)

то крайова задача (4.1), (4.2) має єдиний розв‘язок у(х) для .

У обчислювальній практиці найчастіше зустрічаються доточкові лінійні крайові задачі виду:

(10.6)

з крайовими умовами

(10.7)

де . Умови, яким повинні задовольняти функції p(x), q(x) та f(x) для забезпечення єдиного розв‘язку задачі визначаються наслідком з теореми 10.1.

Наслідок теореми 10.1. Якщо p(x) і q(x) неперервні на D і q(x) < 0, то задача (10.6, 10.7) має єдиний розв‘язок на проміжку [ a, b ].

Частинним випадком доточкової задачі є задача про механічні та електричні коливання, в якій функції p(x), q(x) та f(x) є константами, а незалежною змінною, по якій відбувається диференціювання, є час t.

Граничні умови визначають ступінь крайової задачі.

ü Перша крайова задача має умови . (10.8)

ü Друга крайова задача має умови . (10.9)

ü Третя крайова задача записується так:

, (10.10)

за умови, що .

Знаходження розв‘язку крайової задачі у точній (аналітичній формі) значно складніша задача, ніж розв‘язок задачі Коші. Тому для розв‘язування крайових задач розроблено багато наближених методів, що діляться на дві групи:

· наближено-аналітичні методи, які приводять до наближеного розв‘язку крайової задачі на відрізку [ a, b ] у вигляді аналітичної функції;

· чисельні методи, у яких розв‘язок крайової задачі визначається у вигляді табличної функції, заданої на сітці відрізків .

Розглянемо деякі з методів розв‘язання диференційної крайової задачі.

10.2. Методи сіток.

При проектуванні технічних об’єктів виникає необхідність аналізу неперервних фізичних, економічних та інших процесів, що описуються диференційними рівняннями в частинних похідних. Це задачі дослідження напруженого стану конструкцій, їх деталей та розрахунки на міцність, розрахунок теплових режимів роботи деталей, вивчення аеро- та гідродинамічних властивостей технічних об’єктів, моделювання зміни курсу валюти в залежності від фінансово-економічних показників, вивчення динаміки змін в чисельності населення залежно від фінансово-економічних та соціально-економічних чинників у державі та багато інших. Для розв’язання таких задач найбільш розповсюдженими є методи сіток.

Сутність цих методів полягає в апроксимації початкової безперервної функції множиною наближених значень, що розраховані в деяких точках області, які називаються вузлами . Сукупність вузлів, з’єднаних певним чином, утворюють сітку, яка є дискретною моделлю області визначення шуканої функції.

За допомогою методів сіток диференційну крайову задачу зводять до системи лілійних або нелінійних алгебраїчних рівнянь відносно невідомих вузлових значень функції. Найбільше розповсюдження в сучасних математичних середовищах та системах автоматизованого проектування отримали два методи сіток:

§ метод кінцевих різниць (МКР),

§ метод кінцевих елементів (МКЕ).

10.2.1. Метод кінцевих різниць

Розглянемо метод кінцевих різниць. Суть методу полягає у заміні похідних диференційного рівняння задачі різницевими аналогами, запису різницевих рівнянь відносно всіх точок області визначення задачі й у розв‘язанні отриманої системи різницевих рівнянь. Порядок розв’язання диференційної крайової задачі МКР можемо відобразити наступними етапами:

1) розбиття області визначення диференційної задачі вузловими точками,

2) заміна похідних у рівнянні, що описує задачу, відповідно до ступеня похідної та місця розташування вузлових точок різницевими аналогами,

3) на основі отриманого в п.2 різницевого рівняння побудова системи різницевих рівнянь відносно всіх точок області визначення,

4) розв‘язок системи різницевих рівнянь з врахуванням граничних умов,

5) представлення результатів розрахунків у зручному для аналізу вигляді (графіка, чи таблиці) та аналіз отриманих розв‘язків.

Для заміни похідних використовують ліві, праві і центральні різницеві аналоги. Центральні різницеві аналоги похідних першого – другого порядків представлені рівняннями (10.11) ¸ (10.21):

(10.11)

(10.12)

(10.13)

(10.14)

(10.15)

(10.16)

(10.17)

(10.18)

(10.19)

(10.20)

(10.21)

Розглянемо застосування метода кінцевих різниць (МКР) на прикладі стержня, закріпленого у стіні і підігрітого джерелом тепла, що підводиться до вільного кінця стержня. Припустимо, що існує невідома функція температури Ф(х, t), яка відображає нагрів стержня одиничної довжини у продовж часу (рис. 10.3).

Рис 10.3. Одновимірний елемент, розбитий вузловими точками.

Нагрівання забезпечується зовнішнім джерелом тепла:

j (х) = х (х - 1) (10.22)

Диференційне рівняння, що описує процес розповсюдження тепла у стержні запишемо у вигляді:

(10.23)

В момент часу t граничні умови задачі:

§ при х = 0 температура дорівнює 10× k;

§ при х = 1 температура дорівнює (k + 1)× 40.

Потрібно знайти розв’язок початково-крайової задачі:

(10.24)

Різницева апроксимація диференційного рівняння має вигляд:

(10.25)

Приймемо: . Тоді .

Приймемо також

Замінивши диференційне рівняння (10.23) різницевим (10.25) і записавши його відносно вузлових точок (рис.10.3) отримаємо систему лінійних рівнянь:

(10.26)

Оскільки вузлових точок 6, а рівнянь в системі 4, використаємо граничні умови задачі. Нехай Ф₀¹ = 10, Ф₅¹ = 80, тобто k = 1. Кожне Ф_і⁰ = n_i× m_i, де n_i – відстань в долях відрізка до початку стержня, m_i – відстань в долях відрізка до кінця стержня. Наприклад: Ф₂⁰ = = .

Побудуємо систему рівнянь:

(10.27)

Приведемо коефіцієнти системи до цілих чисел:

Розв’язати отриману систему цілком можливо одним з точних методів розв‘язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь. Але ефективніше застосовувати метод прогонки, оскільки система рівнянь є три діагональною.

Метод прогонки. Розглянемо лінійну крайову задачу на відрізку :

(10.28)

при , та припустимо, що функції p(x), q(x), f(x) неперервні на [ a, b ].

Від диференційного рівняння (10.28) перейдемо до кінцево-різницевого. Для цього розіб'ємо відрізок [ а, b ] на n рівних частин із кроком Покладаючи, що і вводячи позначення: для внутрішніх точок (i=1, 2,..., n-1) відрізку [ a, b ] замість диференційного рівняння (10.28) отримаємо систему кінцево-різницевих рівнянь:

де (i=1, 2,..., n-1).

Звідси матимемо

(і=1, 2,..., n-1) (10.29)

де (10.30)

Для похідних на кінцях і беремо односторонні похідні:

(10.31)

Згідно граничних умов (10.28) матимемо

(10.32)

Лінійна система диференційних рівнянь (10.28) з граничними умовами (10.32) містить (n + 1) рівняння першого ступеня відносно невідомих . Розв'яжемо її методом прогонки [17]. Знайдемо з рівняння (10.29)

(10.33)

Припустимо, що за допомогою системи (10.28) з граничними умовами (10.32) із рівняння (10.33) виключена невідома . Тоді

, (10.34)

де - деякі коефіцієнти. Аналогічно .

Підставимо цей вираз у (10.29) і отримаємо

звідки

(10.35)

З цього виразу, враховуючи формулу (10.34) отримаємо рекурентні формули

(10.36)

Визначимо і . Із першої граничної умови (10.32) отримаємо

З іншого боку, з формули (10.34) при і=0 маємо

(10.37)

Порівнюючи дві останні нерівності, знаходимо

(10.38)

На основі формул (10.36), (10.38) послідовно визначаються коефіцієнти до і включно, це прямий хід.