Некоторые свойства и графики

 

Переменная величина у называется функцией переменной величины х, если каждому значению х ставится в соответствие одно определенное значение у.

Х – множество значений переменной х, которое называется областью определения функции и обозначается D(f).

Y – множество значений переменной величины у, обозначаемое как E(f).

Основными элементарными функциями являются следующие аналитически заданные функции:

1. Степенная функция у=х ^a, aÎ R.

2. Показательная функция у=а^х, а > 0, а ≠ 1.

3. Логарифмическая функция y=log_ax, a > 0, а ≠ 1.

4. Тригонометрические функции y=sinx, y=cosx, y=tgx, y=ctgx.

5. Обратные тригонометрические функции y=arcsinx, y=arccosx, y=arctgx, y=arcctgx.

Элементарная функция может быть сложной, то есть являться функцией от некоторой функции, например y=f(u), u=j(х), тогда y=f(j(x)).

Различают четные и нечетные функции, периодические и непериодические, функции общего вида.

________________

 

4.1.1. Задана функция .

Найти .

Ответ: .

4.1.2. Найти область определения функций D(f):

а) ; б) ; в) f(x)=log ₃(9- x ²);

г) ; д) ; е) .

Ответ: (-µ; -1)È (-1; +µ); (-µ; -2)È (-2; 2)È (2; +µ); (-3; 3); (-µ; -2)È (2; +µ); (-µ; 2]È [5; +µ); [-6; 2].

4.1.3. Найти множество значений функции E(f):

а) f(x)=x ²+4 x +3; б) f(x)= 2^{| x |}; в) f(x) =3-5 cosx; г) f(x)= | x |-3;

д) f(x)=log ₂(128-124´ 2^-|x|.

Ответ: [2; 7)

4.1.4. Определить четные, нечетные функции и функции общего вида:

а) ; б) f(x)=x ⁴-5| x |; в) f(x)=e^x- 2 e ^-x; г) ;

д) ; е) ; ж) f(x)=arcsinx; з) f(x)=xe^x; и) .

Ответ: а) нечет.; б) чет.; в) общ. вида; г) нечет.; д) чет.; е) общ. вида; ж) нечет.; з) общ. вида; и) нечет.

4.1.5. Определяется ли заданная функция периодической; найти ее наименьший положительный период, если он существует:

а) f(x)=sin 4 x; б) f(x)=cos² 5 x; в) f(x)=tg ; г) f(x)=sin 3 xcos 3 x; д) .

4.1.6. Найти значение функции f (19), если известно, что функция f(x) нечетная, имеет период, равный 10, и на отрезке [0; 5] имеет вид у =25 х ²- х ⁴.

Ответ: -24.

4.1.7. Построить графики функций:

а) у = х ²-6 х +11; б) у =1 ; в) у =2^х-1+3; г) у=log ₂| x |; д) y= 3 cos 2 x.

______________

4.1.8. Задана функция .

Найти .

Ответ: .

4.1.9. Найти область определения функций D(f):

а) ; б) ; в) f(x)=log₂ (x²- 4 x +3);

г) ; д) ; е) f(x)=tg 2 x.

Ответ: (-µ; 1)È (1; +µ); (-µ; +µ); (-µ; 1)È (3; +µ); [-2; 1); [-1; 3]; (-µ; +µ).

4.1.10. Найти множество значений функций E(f):

а) f(x)=x²- 6 x +8; б) f(x)= 2^-|x|; в) f(x)= 4+2 sin 5 x; г) ;

д) .

Ответ: д) [0; 1].

4.1.11. Установить, какие из следующих функций четные, нечетные, общего вида:

а) f(x)=x ²+5 x ⁴; б) f(x)=xcosx; в) f(x)=tgx ²; г) f(x)= | x -2|.

Ответ: а) чет.; б) нечет.; в) чет.; г) общего вида.

4.1.12. Найти значение функции f (22), если известно, что y=f(x) – нечетная функция с периодом 12 и на отрезке [0; 6] функция имеет вид у= 36 х ⁴- х ².

Ответ: -572.

4.1.13. Построить графики следующих функций:

а) y=x ²-4 x -5; б) y=log ₂(x- 1)+3; в) .