Матричные уравнения и системы линейных уравнений

 

Обратной матрицей к квадратной матрице А называется такая матрица (обозначается А ^-1), что А ^-1 А=А А ^-1= Е.

Замечание. Если матрица А ^-1 существует, то она единственна.

Минором М_ij к элементу а_ij квадратной матрицы А называется определитель, вычисленный из элементов матрицы А, оставшихся после вычеркивания i -й строки и j -го столбца.

Алгебраическим дополнением А_ij к элементу а_ij квадратной матрицы А=(a_ij) называется произведение А_ij= (-1) ^i+jM_ij.

Присоединенной матрицей к квадратной матрице А=(a_ij) называется матрица , составленная из алгебраических дополнений А_ij к элементам a_ij матрицы А.

Теорема. Если квадратная матрица А – невырожденная (т.е. det A ¹ 0), то

. (*)

Метод присоединенной матрицы вычисления обратной матрицы к невырожденной матрице А состоит в применении формулы (*).

Матричные уравнения простейшего вида с неизвестной матрицей Х записываются следующим образом:

АХ=В, ХА=В, АХС=В.

В этих уравнениях А, В, С, Х – матрицы таких размеров, что все используемые операции умножения возможны, и с обеих сторон от знака равенства стоят матрицы одинаковых размеров.

Если в этих уравнениях матрицы А и С невырожденные, то их решения записываются следующим образом:

а) для уравнения АХ=В Þ Х=А ^-1 В;

б) для уравнения ХА=В Þ Х=ВА ^-1;

в) для уравнения АХС=В Þ Х=А ^-1 ВС ^-1.