Векторы и линейные операции над ними

Вектором называется направленный отрезок, точка А – начало вектора, точка В – конец.

Вектор, у которого начало совпадает с концом, называется нуль-вектором.

Векторы, которые расположены на одной или на параллельных прямых, называются коллинеарными. Векторы, которые параллельны некоторой плоскости, называются компланарными.

Два вектора равны , если 1) они коллинеарны, 2) одинаково направлены ( и 3) их длины (модули) равны: .

Произведением вектора на действительное число ﮑ называется вектор , определяемый следующими условиями:

1)

2) и коллинеарны ( ║ )

3) если λ > 0, то и сонаправлены, а если λ < 0, то и противоположно направлены.

 

Сложить два вектора можно двумя способами: по правилу треугольника, пристроив их один к другому (Рис.1) и по правилу параллелограмма, отнеся векторы к общему началу (Рис.2). Если на векторах построен параллелограмм, то диагональ, исходящая из общего начала векторов, будет суммой этих векторов, а вторая диагональ – их разностью.

Рис.1 Рис.2

Рассмотрим прямоугольную систему координат Oxyz. На каждой оси выберем opm (единичный вектор). Три единичных вектора называются декартовым прямоугольным (ортнормированным) базисом в пространстве

 

(рис.3).

 

Произвольный вектор можно представить в виде:

, где (1) x = , y = z =

Равенство (1) называется разложением вектора по базису , а числа x y z называют координатами вектора в базисе и пишут .